[論文レビュー] Towards Practical Constrained Monotone Submodular Maximization.

Wenxin Li, Ness B. Shroff|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2018

Complexity and Algorithms in Graphs被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、制約付き単調な部分集合最大化問題に対して、最も速い既知の時間計算量と改善された近似保証を達成する、適応的減少しきい値（ADT）アルゴリズムを提示する。基数制約下では、$O(n \times \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$ クエリで $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似が達成可能であり、任意の確率的アルゴリズムが $\frac{1}{2} + \Theta(1)$ より良い近似を達成するためのクエリ計算量の下界は $\Omega(n / \log n)$ であることが示された。

ABSTRACT

We design new algorithms for maximizing a monotone non-negative submodular function under various constraints, which improve the state-of-the-art in time complexity and/or performance guarantee. We first investigate the cardinality constrained submodular maximization problem that has been widely studied for about four decades. We design an $(1-\frac{1}{e}-\varepsilon)$-approximation algorithm that makes $O(n\cdot \max \{\varepsilon^{-1},\log\log k \})$ queries. To the best of our knowledge, this is the fastest known algorithm. We further answer the open problem on finding a lower bound on the number of queries. We show that, no (randomized) algorithm can achieve a ratio better than $(\frac{1}{2}+\Theta(1))$ with $o(\frac{n}{\log n})$ queries. The acceleration above is achieved by our \emph{Adaptive Decreasing Threshold} (ADT) algorithm. Based on ADT, we study the $p$-system and $d$ knapsack constrained maximization problem. We show that an $(1/(p+\frac{7}{4}d+1)-\varepsilon)$-approximate solution can be computed via $O(\frac{n}{\varepsilon}\log \frac{n}{\varepsilon}\max\{\log \frac{1}{\varepsilon},\log\log n\})$ queries. Note that it improves the state of the art in both time complexity and approximation ratio. We also show how to improve the ratio for a single knapsack constraint via $O(n\cdot \max \{\varepsilon^{-1},\log\log k \})$ queries. For maximizing a submodular function with curvature $\kappa$ under matroid constraint, we show an $(1-\frac{\kappa}{e}-\varepsilon)$-approximate algorithm that uses $ ilde{O}(nk)$ value oracle queries. Our ADT could be utilized to obtain faster algorithms in other problems. To prove our results, we introduce a general characterization between randomized complexity and deterministic complexity of approximation algorithms that could be used in other problems and may be interesting in its own right.

研究の動機と目的

• 様々な制約下での単調な部分集合関数最大化のための、より高速でより正確なアルゴリズムの設計。
• 確率的アルゴリズムにおける非定数近似のためのクエリ数の下界を確立するという未解決問題の解決。
• $p$-システムおよびナップサック制約における、近似比とクエリ計算量の両面で現在の最良の成果の向上。
• ADTフレームワークを曲率に配慮したおよびマトロイド制約付き部分集合最大化に拡張すること。

提案手法

• マージナルゲインに応じてしきい値を動的に調整することで、解空間を効率的に探索する適応的減少しきい値（ADT）アルゴリズムの導入。
• 確率的および決定的近似計算量の関係を新たに特徴づけ、クエリ計算量の下界を導出する。
• 制約構造を尊重するようにしきい値更新を適応させることで、$p$-システムおよびナップサック制約にADTを適用。
• 部分集合関数の曲率 $\kappa$ を活用して、マトロイド制約付き設定における近似保証を精緻化。
• 適応的しきい値による高利益要素の優先順位付けにより、値オракル呼び出し回数を削減するクエリ効率の良いフレームワークの設計。
• 基数制約下で $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似が達成可能であるための $O(n \cdot \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$ クエリで十分であることを証明。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 基数制約下で、$O(n \varepsilon^{-1})$ より少ないクエリで $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似を達成できる部分集合関数最大化アルゴリズムを設計できるか？
• RQ2 部分集合関数最大化において、非自明な近似比を達成するための任意の確率的アルゴリズムが要するクエリ数の最適下界は何か？
• RQ3 ADTフレームワークを $p$-システムおよびナップサック制約下で拡張し、クエリ計算量を低減しつつ、より良い近似比を達成できるか？
• RQ4 マトロイド制約付き部分集合最大化において、関数の曲率 $\kappa$ は近似保証にどのように影響するか？また、性能向上に活用できるか？
• RQ5 部分集合問題において、確率的および決定的近似アルゴリズムの間の一般化された計算量の特徴づけを確立できるか？

主な発見

• ADTアルゴリズムは、基数制約付き部分集合関数最大化に対して、$O(n \cdot \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$ の値オラクルクエリを用いて $(1 - \frac{1}{e} - \varepsilon)$-近似を達成し、これまでは最も速い既知のアルゴリズムである。
• 本稿では、$o(n / \log n)$ クエリで $\frac{1}{2} + \Theta(1)$ より良い近似を達成できるような任意の確率的アルゴリズムは存在しないことを示す下界を確立した。
• $p$-システムおよび $d$-ナップサック制約下では、ADTに基づくアルゴリズムが $(1/(p + \frac{7}{4}d + 1) - \varepsilon)$-近似を達成し、$O(\frac{n}{\varepsilon} \log \frac{n}{\varepsilon} \cdot \max\{\log \frac{1}{\varepsilon}, \log\log n\})$ クエリを要する。これは、先行研究に比べて近似比とクエリ計算量の両方を改善している。
• 単一のナップサック制約下では、ADTアルゴリズムは基数制約時と同一のクエリ計算量 $O(n \cdot \max\{\varepsilon^{-1}, \log\log k\})$ を維持しつつ、近似比を向上させた。
• マトロイド制約下で曲率 $\kappa$ を持つ部分集合関数に対しては、アルゴリズムが $(1 - \frac{\kappa}{e} - \varepsilon)$-近似を達成し、$\tilde{O}(nk)$ の値オラクルクエリを要する。
• 本稿では、確率的および決定的近似アルゴリズムの間の一般化された計算量特徴づけを導入した。この特徴づけは、部分集合関数最大化を越えて応用可能である可能性がある。