[論文レビュー] Towards the QCD String: 2+1 dimensional Yang-Mills theory in the planar limit

Robert G. Leigh, Djordje Minić|ArXiv.org|Jul 7, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 44被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、カルバーリ・ネアのゲージ不変な正則集団場を用いて、2+1次元SU(N)ヤン・ミルズ理論の平面的極限を研究し、ハミルトニアンをシングレット層の1行列模型に還元する。質量ギャップとコンfinementに類似した振る舞いを示す明示的な分散関係 ω(k) = √(k² + mₙ²) が得られ、ここで mₙ = n mᵣ であり、mᵣ は't Hooft結合によって決定される再正則化質量である。これは大Nおよび低運動量極限において質量ギャップを確立する。

ABSTRACT

We study the large N (planar) limit of pure SU(N) 2+1 dimensional Yang-Mills theory (YM_{2+1}) using a gauge-invariant matrix parameterization introduced by Karabali and Nair. This formulation crucially relies on the properties of local holomorphic gauge invariant collective fields in the Hamiltonian formulation of YM_{2+1}. We show that the spectrum in the planar limit of this theory can be explicitly determined in the $N=\infty$, low momentum (large 't Hooft coupling) limit, using the technology of the Eguchi-Kawai reduction and the existing knowledge concerning the one-matrix model. The dispersion relation describing the planar YM_{2+1} spectrum reads as $ω(\vec{k}) = \sqrt{\vec{k}^2 + m_n^2}$, where $n=1,2,...$ and $m_n = n m_r$, where $m_r$ denotes the renormalized mass, the bare mass m being determined by the planar 't Hooft coupling $g_{YM}^2 N$ via $m= \frac{g_{YM}^2 N}{2 π}$. The planar, low momentum limit, also captures the expected short and long distance physics of YM_{2+1} and gives an interesting new picture of confinement. The computation of the spectrum is possible due to a reduction of the YM_{2+1} Hamiltonian for the large 't Hooft coupling to the {\it singlet} sector of an effective one matrix model. The crucial observation is that the correct vacuum (the large N master field), consistent with the area law and the existence of a mass gap, is described by an effective quadratic matrix model, in the large N, large 't Hooft coupling limit.

研究の動機と目的

• 大N極限における2+1次元ヤン・ミルズ理論を理解すること。これは漸近的自由性とコンfinementを示す非自明なQFTである。
• カルバーリ・ネアの集団場に基づくゲージ不変な定式化を用いて、平面ヤン・ミルズ理論のスペクトルを特定すること。
• 大't Hooft結合の極限において、有効な二次行列模型の下で、質量ギャップと面積則の振る舞いを示す平面真空が出現することを示すこと。
• 低運動量領域におけるゲージ不変な集団場のための運動量展開された有効場理論を確立すること。

提案手法

• 局所的正則場としてのカルバーリ・ネアの2+1次元ヤン・ミルズ理論のゲージ不変パラメータ化を用い、集団変数によるハミルトニアン形式を可能にする。
• エグッチ・カワイの大N還元を適用し、平面ヤン・ミルズハミルトニアンを有効な1ヘルミート行列模型のシングレット層に写像する。
• 大Nマスターフィールドを有効な二次行列模型の解として特定することにより、平面領域における自己無撞着なギャップ方程式を導出する。
• 低運動量（大't Hooft結合）極限における還元された平面有効作用の運動量展開を実行する。
• 1行列模型の技術とそのスペクトルに関する既知の結果を用いて、物理的分散関係を計算する。
• 平面真空の局所的正則不変性を用いてシングレット層を選択し、コンfinementと面積則と整合性を保つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大Nおよび低運動量極限において、平面2+1次元ヤン・ミルズ理論のスペクトルを明示的に計算できるか？
• RQ2 この理論における大Nマスターフィールドは、質量ギャップと面積則を捉える二次行列模型に対応するか？
• RQ3 還元された行列模型から、平面極限における物理的励起の分散関係はどのように導かれるか？
• RQ4 カルバーリ・ネアの集団場は、平面ヤン・ミルズ理論の可解な定式化を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• 平面2+1次元ヤン・ミルズ理論のスペクトルは、相対論的分散関係 ω(k) = √(k² + mₙ²) で与えられ、ここで mₙ = n mᵣ であり、n = 1, 2, ... である。
• 質量ギャップは mᵣ によって決定され、これは't Hooft結合により m = g²_YM N / (2π) と表され、m は基本質量、mᵣ は再正則化質量である。
• 面積則と質量ギャップと整合する正しい真空は、大Nおよび大't Hooft結合の極限において、有効な二次行列模型で記述される。
• 平面で低運動量の極限は、元のヤン・ミルズ理論の短距離および長距離物理、包括してコンfinementを捉えている。
• ヤン・ミルズハミルトニアンをシングレット層の1行列模型に還元することで、スペクトルおよび相関関数の明示的計算が原理的に可能になる。