[論文レビュー] Towards the smoothness of optimal maps on Riemannian submersions and Riemannian products (of round spheres in particular)

Young‐Heon Kim, Robert J. McCann|ArXiv.org|Jun 2, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体の積および部分被覆に対して、交差曲率の非負性を確立し、特にn次元の球面がこの条件を満たすことを示している。このことは、最適輸送写像のA3w正則性条件が成り立つことを意味する。結果として、定曲率をもたない広範なクラスの多様体—特に複素射影空間CPⁿに対しては、その予想が確認された—において、最適写像が滑らかであることが期待される。

ABSTRACT

The key condition A3w of Ma, Trudinger and Wang for regularity of optimal transportation maps is implied by the nonnegativity of a pseudo-Riemannian curvature -- which we call cross-curvature -- induced by the transportation cost. For the Riemannian distance squared cost, it is shown that (1) cross-curvature nonnegativity is preserved for products of two manifolds; (2) both A3w and cross-curvature nonnegativity are inherited by Riemannian submersions; and (3) the $n$-dimensional round sphere satisfies cross-curvature nonnegativity. From these results, a large new class of Riemannian manifolds satisfying cross-curvature nonnegativity (thus A3w) is obtained, including many whose sectional curvature is far from constant. All known obstructions to the regularity of optimal maps are absent from these manifolds, making them a class for which it is natural to conjecture that regularity holds. This conjecture is confirmed for complex projective space CP^n.

研究の動機と目的

• リーマン部分被覆および積における最適輸送写像の滑らかさを、曲率条件の分析によって確立すること。
• 最適輸送における正則性の鍵たるA3w条件が、定曲率でない多様体上でも満たされるかどうかを調査すること。
• 平坦または対称空間を超える既知の正則性結果を、n次元の球面上での交差曲率の非負性の証明によって拡張すること。
• 複素射影空間CPⁿにおける最適写像の正則性に関する予想を、交差曲率解析によるA3w条件の検証によって確認すること。

提案手法

• リーマン距離二乗コストに由来する、M × M̄ 上の擬リーマン計量hを用いて交差曲率を定義する。
• Ma-Trudinger-WangのA3w条件を、接バンドル内の零ベクトルにおける交差曲率の非負性として適用する。
• 曲率伝播の議論を用いて、リーマン積および部分被覆において交差曲率の非負性が保たれることを示す。
• 対称性とr̂およびqが張る2次元平面への射影を用いて、球面上の問題を2次元に還元する。
• ヤコビ場に 沿ったエネルギー汎関数の2階微分の明示的計算を用いて、交差曲率の符号を分析する。
• 三角恒等式および漸近的解析を用いて、S = tanψ における2次形式の判別式が負であることを示し、曲率式の正値性を導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多様体のリーマン積において、交差曲率は非負性を保つのか？
• RQ2 リーマン部分被覆において交差曲率は非負であり、A3w条件が保存されるのか？
• RQ3 n次元の球面は、最適輸送の正則性のためのA3w条件を満たすのか？
• RQ4 複素射影空間CPⁿにおける最適写像の正則性に関する予想は、曲率解析によって確認できるか？
• RQ5 交差曲率が消える条件は何か？ そして、これは退化性または正則性を意味するのか？

主な発見

• 2つの多様体のリーマン積において、交差曲率の非負性が保たれ、A3wを満たす多様体のクラスが拡張される。
• A3w条件および交差曲率の非負性は、リーマン部分被覆によっても引き継がれ、正則性結果の適用範囲が広がる。
• n次元の球面は交差曲率の非負性を満たしており、これはA3w条件が成り立つことを意味するが、その断面曲率は定数でない。
• 交差曲率が消える等号成立条件は、接ベクトルq, w, r̂ がすべて平行である場合に限る。これにより、ほぼ正の交差曲率が確認される。
• 複素射影空間CPⁿにおける最適写像の正則性に関する予想は、交差曲率解析によるA3w条件の検証によって確認された。
• 球面上の問題の2次元還元により、S = tanψ における2次形式の完全な解析が可能となり、負の判別式による正値性が証明された。