[论文解读] Translating graphs by mean curvature flow

Leili Shahriyari|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2012

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文证明，在ℝ³中，均曲率流下的完整平移图要么是整个图，要么是介于两个铅垂平面之间的图，要么是某一平面一侧的图，且在边界附近渐近收敛于平面。通过共形度量下的稳定性与曲率估计，证明了在有界区域上不存在此类图，从而解决了关键的几何分类问题。

ABSTRACT

The aim of this work is studying translating graphs by mean curvature flow in $\Real^3$. We prove non-existence of complete translating graphs over bounded domains in $\Real^2$. Furthermore, we show that there are only three types of complete translating graphs in $\Real^3$; entire graphs, graphs between two vertical planes, and graphs in one side of a plane. In the last two types, graphs are asymptotic to planes next to their boundaries. We also prove stability of translating graphs and then we obtain a pointwise curvature bound for translating graphs in $\Real^3$.

研究动机与目标

• 对ℝ³中均曲率流下的所有完整平移图进行分类。
• 证明在ℝ²的有界区域上不存在完整平移图。
• 建立平移图在定义域边界附近的渐近行为。
• 通过共形度量下的稳定性推导曲率估计。
• 对ℝ³中的完整平移图提供完整的几何分类。

提出的方法

• 证明平移图在共形度量g_ij = e^{x₃}δ_ij下是稳定极小曲面。
• 利用泛函F(Σ) = ∫_Σ∩B_r(p) e^{x₃} dμ的一阶和二阶变分公式，推导出稳定性算子L。
• 利用稳定性条件的共形不变性，将L-稳定性与极小曲面理论联系起来。
• 利用平移图的紧致性定理，提取缩放曲面的子列极限。
• 对函数1/w应用Harnack不等式，其中w是梯度的法向分量，以控制曲率爆破。
• 基于有界几何与收敛于铅垂平面的矛盾论证，排除在有界区域上的图。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在ℝ³中定义在ℝ²有界区域上的完整平移图？
• RQ2 ℝ³中完整平移图可能的全局几何类型有哪些？
• RQ3 平移图在其定义域边界附近的行为如何？
• RQ4 能否从共形度量下的稳定性推导出平移图的曲率估计？
• RQ5 当平移图趋近其定义域边界时，其渐近行为如何？

主要发现

• 通过缩放和紧致性方法的反证法，证明在ℝ²的有界区域上不存在ℝ³中的完整平移图。
• ℝ³中完整平移图的唯一可能类型为：整个图、介于两个铅垂平面之间的图，以及某一平面一侧的图。
• 平移图在定义域边界附近渐近于铅垂平面，即在趋近边界时趋近于一个平面。
• 平移图的曲率是逐点有界的，该结论由共形度量下的稳定性与极小曲面理论推导得出。
• 函数1/w（其中w为梯度的法向分量）满足一个椭圆型PDE，从而可应用Harnack不等式以控制爆破行为。
• 若定义域有界，则图的平均曲率在边界附近趋于零，这与柱面边界应有的非零曲率相矛盾。