[论文解读] Transversal Twistor Spaces of Foliations

Izu Vaisman|ArXiv.org|Nov 6, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用 3

一句话总结

本文为余维数为偶数的叶状结构引入了横向扭量空间，通过Bott联络在扭量丛ZF上构造了叶状结构F'。研究发现，诱导出的几乎复结构I的可积性对应于横向射影结构的平坦性，而J则永远不可积；I或J的可投影性需叶状结构F满足额外的几何与上同调条件。

ABSTRACT

The transversal twistor space of a foliation F of an even codimension is the bundle ZF of the complex structures of the fibers of the transversal bundle of F. On ZF, there exists a foliation F' by covering spaces of the leaves of F, and any Bott connection of F produces an ordered pair (I,J) of transversal almost complex structures of F'. The existence of a Bott connection which yields a structure I that is projectable to the space of leaves is equivalent to the fact that F is a transversally projective foliation. A Bott connection which yields a projectable structure J exists iff F is a transversally projective foliation which satisfies a supplementary cohomological condition, and, in this case, I is projectable as well. J is never integrable. The essential integrability condition of I is the flatness of the transversal projective structure of F.

研究动机与目标

• 为余维数为偶数的叶状结构F定义并研究其横向扭量空间ZF。
• 分析由Bott联络在ZF上诱导出的叶状结构F'。
• 确定横向几乎复结构I和J在F'上可投影至叶空间的条件。
• 以F的几何与上同调性质为依据，刻画I的可积性及J的不可积性。
• 建立横向射影结构平坦性与I可积性之间的精确对应关系。

提出的方法

• 将横向扭量空间ZF构造为F的横向丛纤维上复结构的丛。
• 通过F的叶的覆盖空间将叶状结构F提升至ZF上的叶状结构F'。
• 利用F的Bott联络在F'上诱导出一对有序的横向几乎复结构(I, J)。
• 使用几何与上同调准则分析I和J向F叶空间的可投影性。
• 证明I可积当且仅当F的横向射影结构是平坦的。
• 证明无论F的性质如何，J永远不可积。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，F'上的横向几乎复结构I可投影至F的叶空间？
• RQ2 F上的Bott联络在何种情况下会诱导出F'上可投影的结构J？
• RQ3 I的可积性与F的横向射影结构平坦性之间存在何种关系？
• RQ4 为何F'上的结构J永远不可积？
• RQ5 F的几何与上同调条件如何影响诱导结构I和J的存在性与性质？

主要发现

• 存在Bott联络使I可投影，当且仅当F是横向射影叶状结构。
• 存在Bott联络使J可投影，当且仅当F是横向射影叶状结构且满足额外的上同调条件。
• 当此类J存在时，I也必然可投影。
• 结构I可积当且仅当F的横向射影结构是平坦的。
• 无论F的性质如何，结构J永远不可积。
• 横向扭量空间ZF支持一个叶状结构F'，该结构通过F的叶的覆盖空间提升其几何性质。