[论文解读] Tree balance indices: a comprehensive survey

Mareike Fischer, Linda Herbst+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2021

Plant and animal studies参考文献 71被引用 17

一句话总结

本文提出了一套树平衡性指数的正式框架，定义了区分有效平衡与不平衡指数与其他树形统计量的标准。该研究回顾了19个既有的指数，证明其在新标准下均有效，识别出五个此前被忽略的指数，并通过证明某些广泛使用的统计量（如类群大小计数）不满足平衡指数的资格标准，解决了文献中的不一致性。

ABSTRACT

Tree balance plays an important role in phylogenetics and other research areas, which is why several indices to measure tree balance have been introduced over the years. Nevertheless, a formal definition of what a balance index actually is and what makes it a useful measure of balance (or, in other cases, imbalance), has so far not been introduced in the literature. While the established indices all summarize the (im)balance of a tree in a single number, they vary in their definitions and underlying principles. It is the aim of the present manuscript to introduce formal definitions of balance and imbalance indices that classify desirable properties of such indices and to analyze and categorize established indices accordingly. In this regard, we review 19 established (im)balance indices from the literature, summarize their general, statistical and combinatorial properties (where known), prove numerous additional results and indicate directions for future research by making explicit open questions and gaps in the literature. We also prove that a few tree shape statistics that have been used to measure tree balance in the literature do not fulfill our definition of an (im)balance index, which might indicate that their properties are not as useful for practical purposes. Moreover, we show that five additional tree shape statistics from other contexts actually are tree (im)balance indices according to our definition. The manuscript is accompanied by the website \url{treebalance.wordpress.com} containing fact sheets of the discussed indices. Moreover, we introduce the software package \verb|treebalance| implemented in $\mathsf{R}$ that can be used to calculate all indices discussed.

研究动机与目标

• 建立一个关于有效树平衡或不平衡指数的正式定义，以解决文献中缺乏共识的问题。
• 根据一组理想的平衡指数标准，评估19个已确立的树形统计量，确定哪些可被视为衡量树平衡或不平衡的恰当指标。
• 识别并证明五个较少为人知的树形统计量实际上符合所提出的正式体系下的有效平衡或不平衡指数标准。
• 通过证明某些广泛使用的统计量（如特定大小类群的数量）不满足作为平衡指数的标准，解决文献中的不一致性。
• 提供一个全面的参考资源和软件工具（R语言中的treebalance），以支持系统发育学和树形分析的未来研究。

提出的方法

• 基于理想的数学和结构属性（如单调性和极值的唯一性）提出平衡与不平衡指数的正式定义。
• 将这些标准系统性地应用于评估19个已知指数（如Sackin指数、Colless指数、总共亲系数指数）以及来自其他语境的五个额外统计量。
• 运用组合论证和归纳法证明指数的边界及极值性质，例如在丝状树和完全平衡树上的最小值与最大值。
• 证明樱桃指数是一个有效的不平衡指数，而类群大小计数（num_x）则不是，原因在于其极值唯一性和单调性不成立。
• 引入并验证R语言包treebalance，用于计算本文讨论的所有指数，以支持可重现性和实际应用。
• 维护一个配套网站（treebalance.wordpress.com），提供信息图和持续更新，作为社区的动态参考资源。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些正式标准可定义一个有效的树平衡或不平衡指数？这些标准如何用于区分有意义与无意义的树形统计量？
• RQ2 文献中19个已确立的树形统计量中有多少满足所提出的平衡指数标准？
• RQ3 为何某些广泛使用的统计量（如大小为x的类群数量）尽管使用频繁，却无法被认定为平衡指数？
• RQ4 是否存在此前未被识别但实际符合平衡或不平衡指数正式定义的树形统计量？
• RQ5 不同平衡指数对同一组树的排序结果如何？在n不是2的幂时，它们在哪些方面存在分歧？

主要发现

• 樱桃指数被正式证明为一个有效的不平衡指数，且丝状树是唯一达到最小值1的树。
• 类群大小统计量（num_x）对任意x均不构成有效的平衡指数，因其无法唯一识别出最不平衡或最平衡的丝状树。
• 对于所有x ≥ 4且n > x，丝状树既不最小化也不最大化大小为x的类群数量，从而证明num_x不是有效的平衡指数。
• Sackin指数、Colless指数和总共亲系数指数被正式确认满足所提出的平衡指数标准，验证了其在系统发育推断中的适用性。
• 在新正式体系下，识别出五个来自其他研究领域的树形统计量为有效的平衡或不平衡指数，扩展了适用度量的范围。
• R语言软件包treebalance已实现并验证，可计算全部19个已知指数及五个新识别的指数，支持实际应用与可重现性。