[論文レビュー] Triangle Tiling III: The Triquadratic Tilings

Michael Beeson|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Mathematics and Applications参考文献 4被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、3α + 2β = π を満たし、α が π の有理数倍でない特定のタイル T を用いた三角形の N-タイリングを分類する。N-タイリングが存在するための必要十分条件は、N が平方数に、互いに異なる 8 で割って ±1 余る素数または 2 の積をかけた形であるか、かつ方程式 M² + N = 2K² が正の整数 M, K で解を持ち、M² < N かつ K が M² を割り切る条件を満たすことである。このときタイルの辺長は a = M, c = K, b = K − M²/K となる。

ABSTRACT

An N-tiling of triangle ABC by triangle T (the tile) is a way of writing ABC as a union of N copies of T overlapping only at their boundaries. We continue the work of two previous papers on classifying the possible triangle tilings. The results of all three papers together enable us to make some progress on two problems of Erdos about triangle tilings, one of which asks, for which N is there an N-tiling of some triangle by some tile?. This paper takes up a case that was left unsolved in previous work, which is the following. Let the tile T have angles \alpha, \beta, and \gamma, and suppose 3\alpha + 2\beta = \pi, and \alpha is not a rational multiple of \pi. Suppose there is an N-tiling of ABC. Then we classify the triples (ABC), T, N) such that there is an N-tiling of ABC by T. Our solution is as follows: There is an N-tiling of ABC by T if and only if N is a square times a product of distinct primes of the form 8n plus or minus 1, or 2, and the tiling equation M^2 + N = 2K^2 is solvable in positive integers $ and K with M^2 < N and K divides M^2. In that case the tile can be taken to have sides a, b, and c where a=M and c=K and b=K-M^2/K, so all three sides will be integers. Combining this with the results of a previous paper, we obtain a no-tiling theorem: if N is squarefree and N > 6 and divisible by at least one prime congruent to 3 mod 4, then there are no N-tilings of any triangle by any tile, unless the tile has a 120 degree angle.

研究の動機と目的

• 3α + 2β = π かつ α が π の有理数倍でない場合の、以前未解決であった三角形タイリング分類のケースを解消すること。
• 角度条件を満たす三角形 ABC、タイル T、および整数 N に対して、N-タイリングが存在するすべての三つ組 (ABC, T, N) を特定すること。
• エドーシュのタイリング問題に関する先行研究を拡張し、この特殊ケースにおける N-タイリングの完全な特徴付けを提供すること。
• 平方因子を持たない N > 6 で、4 で割って 3 余る素数を因数に持つ場合、タイルが 120° の角を持たない限り N-タイリングは存在しないという無タイリング定理を確立すること。

提案手法

• 代数的数論とディオファントス方程式を用いて、タイリングの可解性条件を特徴付ける。
• タイリングの必要条件として、方程式 M² + N = 2K² が M² < N かつ K が M² を割り切る正の整数解を持つことを利用する。
• タイルの辺長 a = M, c = K, b = K − M²/K に対して幾何的制約を導出し、方程式が可解であればすべての辺が整数になることを保証する。
• 先行研究の三角形タイリングに関する結果を統合し、与えられたパrameter範囲における完全な分類を確立する。
• α/π が無理数であることを根拠に、代替的なタイリング構成を除外する。
• 8 で割って ±1 余る素数の数論的性質と、タイリング方程式の可解性におけるその役割を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3α + 2β = π を満たし、α が π の有理数倍でないタイル T を用いた、ある三角形 ABC の N-タイリングが存在する N の値は何か？
• RQ2 タイル T の角度制約のもとで、このようなタイリングが存在するための N の必要十分条件は何か？
• RQ3 M² + N = 2K² が正の整数 M, K で解を持ち、M² < N かつ K が M² を割り切るという数論的条件を満たす N はどのようなものか？
• RQ4 N が許容可能であるとき、タイリング方程式の解とタイル T の辺長の関係は何か？
• RQ5 平方因子を持たず、4 で割って 3 余る素数を因数に持つ N に対してはどのような制約が生じ、タイリングの可能性にどのように影響するか？

主な発見

• 三角形 ABC をタイル T で N-タイリングできるのは、N が平方数に、互いに異なる 8 で割って ±1 余る素数または 2 の積をかけた形である場合に限る。
• このようなタイリングが存在するためには、方程式 M² + N = 2K² が正の整数 M, K で解を持ち、M² < N かつ K が M² を割り切る必要がある。
• 方程式が可解であるとき、タイル T は整数辺長 a = M, c = K, b = K − M²/K を持つようにとれる。
• N が平方因子を持たず、6 より大きく、少なくとも一つの 4 で割って 3 余る素数を因数に持つ場合、タイルが 120° の角を持たない限り、N-タイリングは存在しない。
• 3α + 2β = π かつ α/π が無理数である場合のタイリング問題は、この特徴付けによって完全に解決された。
• 与えられた角度制約のもとでの N-タイリングの分類が完全に完了し、エドーシュのタイリング問題の進展が可能になった。