[論文レビュー] Twisted automorphisms of group algebras

Alexei Davydov|ArXiv.org|Aug 21, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、6と互いに素な位数の有限群 G に対する群代数 k[G] のねじれ自己同型を分類し、ねじれ自己同型のゲージ同値類の群が、外部自己同型群 Out(G) と反対称ねじれのなすアーベル群の半直積に同型であることを示している。この構造は普遍包あらゆる代数と類似しており、反対称ねじれは群の指標群の外積の不変元に同型な部分群をなす。

ABSTRACT

We continue the study of twisted automorphisms of Hopf algebras started in "Twisted automorphisms of Hopf algebras". In this paper we concentrate on the group algebra case. We describe the group of twisted automorphisms of the group algebra of a group of order coprime to 6. The description turns out to be very similar to the one for the universal enveloping algebra given in "Twisted automorphisms of Hopf algebras".

研究の動機と目的

• 普遍包あらゆる代数の場合の [4] における提示に類似した提示を用いて、群代数 k[G] のねじれ自己同型の群構造を記述すること。
• ねじれ自己同型を自己同型とねじれに分離する際の非一意性を解消するため、反対称ねじれに制限すること。
• 6と互いに素な位数の群に対して、不変ねじれの群が反対称ねじれと対称ねじれの直積に分解されることを確立すること。
• 反対称ねじれの群が、リー代数の場合と密接に関連する積に関してアーベル群をなすことの証明。
• ヘイゼンベルク群やメタアーベル群のような非アーベル群に対し、不変反対称ねじれの明示的構成と、中心的イデムポテンスおよび指標和を用いた交換関係の検証。

提案手法

• Movshevによる、S が部分群で α が非退化な2次コホモロジーであるペア (S, α) を用いた k[G] 上のガロア代数の分類を用いる。
• ねじれ自己同型を、双代数自己同型と不変ねじれの合成として特徴付け、ゲージ同値類が群 Aut_Tw(k[G]) をなすことを定義する。
• 正規部分群 A ⊂ G 上の双乗法的形式 b: A × A → k^× を用いて反対称ねじれを定義し、b(x,y) = b(y,x)^{-1} かつ共役作用に関して不変であることを要請する。
• k[Ĝ] 内の中心的イデムポテンス p_χ = |C|^{-1} ∑_{χ∈Ĉ} χ(x)^{-1}(0,0,χ) を構成し、既約表現への射影を表す。
• 恒等式 u(χψ) = c(χ,χ,ψ)c(χ,ψ,ψ)u(χ)u(ψ) を用いて、[F₁,F₂] = (u⊗u)Δ(u)^{-1} を満たす u ∈ k[B] を解き、u が G-不変であることを保証する。
• 3 ∤ |G| という仮定を用いて、u(χ)^3 = c(χ,χ,χ) を解き、k[G] の中心に G-不変解が存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G が6と互いに素な位数を持つとき、k[G] のねじれ自己同型の群はどのように構造化できるか？
• RQ2 不変ねじれの反対称部分と対称部分への分解が非一意的である理由は何か？ そして、どのようにして一意化できるか？
• RQ3 反対称ねじれが、指標群の不変外積に同型な群構造をなす役割は何か？
• RQ4 不変反対称ねじれの交換関係は、同型類を保全する自己同型とどのように関係するか？
• RQ5 ヘイゼンベルク群やメタアーベル群のような非アーベル群に対し、このようなねじれの明示的構成は可能か？

主な発見

• 6と互いに素な位数の有限群 G に対して、k[G] のねじれ自己同型のゲージ同値類の群は、Out(G) ⋉ Aut_Tw^anti(k[G]) に同型である。
• 反対称ねじれの群 Aut_Tw^anti(k[G]) は、普遍包あらゆる代数の場合と類似した積に関してアーベル群をなす。
• すべての不変ねじれの群 Aut_Tw^1(k[G]) は直積に分解され、Out_cl(G) × Aut_Tw^anti(k[G]) となる。ここで Out_cl(G) は同型類を保全する外部自己同型の群である。
• coset Aut_Tw(k[G])/Out(G) は、Drinfeld不変量が自明な k[G] 上の三角構造の集合と自然に同一視され、この集合は反対称ねじれ積に関して群をなす。
• ヘイゼンベルク群 H(E,b) に対して、反対称ねじれ F_x は F_x = ∑_{i,j} x^i p_{-j} ⊗ x^j p_i で明示的に与えられ、その交換関係は [F_x, F_y] = (u⊗u)Δ(u)^{-1} を満たし、u = ∑_k η^{-kb(x,y)} p_k である。
• メタアーベル構成 M(C,c) ⋊ Q において、不変形式 b₁, b₂ を持つ2つの反対称ねじれ F₁, F₂ に対して、交換関係 [F₁,F₂] = (u⊗u)Δ(u)^{-1} が u = ∑_{x,y} c(x,x,y)c(x,y,y) p_x ⊗ p_y で成り立ち、非自明な同型類を保全する自己同型がこのようなねじれから生じることを示す。