[논문 리뷰] Two-Loop Superstrings IV, The Cosmological Constant and Modular Forms

Eric D’Hoker, D. H. Phong|ArXiv.org|2001. 11. 05.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 63인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 게이지 슬라이스 독립성에 기반하여 두 루프 초끈 이론의 카이랄 측도를 테타 상수의 형태로 명시적이고 모듈라 불변인 표현으로 유도한다. 이 과정에서 GSO 프로젝션의 유일한 위상 선택을 통해 모듈라 불변성을 확보한다. 우주상수는 리만-티타 항등식이 아닌 종수 2의 모듈라 항등식으로 인해 점별로 0이 되며, 이는 이론이 초대칭 끈 이론(타입 II 및 헤테로지틱 끈 이론)의 물리적 기대와 일치함을 확인한다.

ABSTRACT

The slice-independent gauge-fixed superstring chiral measure in genus 2 derived in the earlier papers of this series for each spin structure is evaluated explicitly in terms of theta-constants. The slice-independence allows an arbitrary choice of superghost insertion points q_1, q_2 in the explicit evaluation, and the most effective one turns out to be the split gauge defined by S_δ(q_1,q_2)=0. This results in expressions involving bilinear theta-constants M. The final formula in terms of only theta-constants follows from new identities between M and theta-constants which may be interesting in their own right. The action of the modular group Sp(4,Z) is worked out explicitly for the contribution of each spin structure to the superstring chiral measure. It is found that there is a unique choice of relative phases which insures the modular invariance of the full chiral superstring measure, and hence a unique way of implementing the GSO projection for even spin structure. The resulting cosmological constant vanishes, not by a Riemann identity, but rather by the genus 2 identity expressing any modular form of weight 8 as the square of a modular form of weight 4. The degeneration limits for the contribution of each spin structure are determined, and the divergences, before the GSO projection, are found to be the ones expected on physical grounds.

연구 동기 및 목표

• 두 루프 초끈 이론의 카이랄 측도를 게이지 슬라이스 독립성에 기반해 테타 상수의 형태로 명시적으로 유도하는 것.
• 전체 카이랄 측도의 모듈라 불변성을 보장하는 GSO 프로젝션에 대한 상대 위상의 유일한 선택을 결정하는 것.
• 모듈라 항등식을 통해 두 루프에서의 우주상수의 0이 되는 것을 확인하는 것.
• 카이랄 측도의 분리 극한을 분석하고, GSO 프로젝션 이전에 기대되는 물리적 발산이 존재하는지 확인하는 것.
• Sp(4,Z)에 대한 카이랄 측도의 모듈라 변환 성질을 규명하고, 불변성을 보장하는 유일한 위상 선택을 식별하는 것.

제안 방법

• 종수 2에서 초끈 이론의 카이랄 측도의 게이지 슬라이스 독립성을 활용하여, 임의의 슈퍼구상자 삽입점이 가능하도록 한다.
• 분할 게이지 조건 $ S_{\nu}(q_1,q_2) = 0 $ 를 적용하여 이중선형 테타 상수 $ \tilde{\rm M} $ 를 포함하는 표현으로 평가를 단순화한다.
• 새로운 이중선형 테타 상수 $ \tilde{\rm M} $ 와 표준 테타 상수 간의 항등식을 활용하여 측도를 순수하게 테타 상수의 형태로 표현한다.
• $ d\tilde{\rm \nu}[\nu](\tilde{\rm \nu}) $ 의 $ \mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z}) $ 에 대한 모듈라 변환 법칙을 유도하며, $ \det(C\Omega + D)^{-5} $ 로 변환됨을 보여준다.
• 전체 카이랄 측도의 모듈라 불변성을 보장하는 데 있어 모든 짝수 스핀 구조 $ \delta $ 에 대해 $ \eta_{\delta} = 1 $ 이라는 유일한 위상 선택을 규명한다.
• 테타 함수와 $ \Psi_{10} $ 의 점근 전개를 활용하여 분리 및 비분리 채널에서의 분리 극한을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 루프 초끈 이론의 카이랄 측도는 테타 상수의 형태로 어떻게 명시적으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 두 루프에서 GSO 프로젝션을 어떻게 일관되게 구현하여 모듈라 불변성을 확보할 수 있는가?
• RQ3 왜 두 루프에서 우주상수가 0이 되며, 이에 기여하는 모듈라 항등식은 무엇인가?
• RQ4 GSO 프로젝션 이전의 카이랄 측도에서 기대되는 물리적 발산은 무엇이며, 이는 필드 이론의 기대와 일치하는가?
• RQ5 리만 곡면의 분리 극한에서 카이랄 측도 기여는 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 카이랄 측도는 $ d\mu[\delta](\Omega) = \frac{\vartheta^4[\delta](0,\Omega) \Xi_6[\delta](\Omega)}{16\pi^6 \Psi_{10}(\Omega)} \prod_{I\leq J} d\Omega_{IJ} $ 로 명시적으로 표현되며, $ \Xi_6[\delta] $ 는 테타 상수의 모듈라 무게 6 조합이다.
• 전체 카이랄 초끈 측도 $ d\mu(\Omega) = \sum_\delta d\mu[\delta](\Omega) $ 는 항등적으로 0이 되며, 이는 두 루프에서의 우주상수가 점별로 0이 됨을 의미한다.
• 우주상수의 0이 되는 원인은 종수 2의 모듈라 항등식에 기인한다: 무게 8인 임의의 모듈라 형식은 무게 4인 형식의 제곱이다. 이는 리만-티타 항등식 때문이 아니라, 종수 2의 모듈라 성질 때문이다.
• 스핀 구조 $ \delta_0 $ (양쪽 토러스에서 R) 의 분리 극한은 기대한 바와 같이 발산이 없이 유한하며, 정상적이다.
• 9개의 NS-NS 스핀 구조는 분리 채널에서 $ \tau^{-2} $ 타키온 극과 $ \tau_2^{-1} $ 질량이 없는 입자 극을 보이며, 이는 필드 이론의 예측과 일치한다.
• 비분리 채널에서의 $ 1/q $ 발산은 $ B_2 $ 사이클을 따라 전파되는 타키온을 시사하며, $ \mu_2, \mu_4 $ 에 대한 부분 GSO 프로젝션은 $ q \to 0 $ 일 때 이 발산을 제거한다.