[論文レビュー] Unitarity, Locality, and Scale versus Conformal Invariance in Four Dimensions

Kazuya Yonekura|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Computational Drug Discovery Methods被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、4次元ユニタリスケール不変な量子場の理論において、エネルギー運動量テンソルのトレースが光円錐上（$p^2 = 0$）で消えることを証明し、これにより局所的演算子 $O$ が存在して $T = \partial^2 O$ と表せることを示している。この結果は、ユニタリティと局所性の仮定の下でスケール不変性と共形不変性が同値であることを確立する。

ABSTRACT

In four dimensional unitary scale invariant theories, arguments based on the proof of the a-theorem suggest that the trace of the energy-momentum tensor T vanishes when the momentum is light-like, p^2=0. We show that there exists a local operator O such that the trace is given as T=\partial^2 O, which establishes the equivalence of scale and conformal invariance. We define the operator as O=\partial^{-2} T, and explain why this is a well-defined local operator. Our argument is based on the assumptions that: (1) A kind of crossing symmetry for vanishing matrix elements holds regardless of the existence of the S-matrix. (2) Correlation functions in momentum space are analytic functions other than singularities and branch cuts coming from on-shell processes. (3) The Wightman axioms are sufficient criteria of the locality of an operator.

研究の動機と目的

• 4次元ユニタリスケール不変な量子場の理論が必然的に共形不変であるかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 以前の摂動論的でない議論における $a$-theorem とディラトン散乱に基づくギャップを埋めること、特に $p^2 = 0$ のとき $\tilde{T}(p) = 0$ を示すこと。
• エネルギー運動量テンソル $T$ のトレースが、適切に定義された局所的演算子 $O$ を用いて $T = \partial^2 O$ と局所的に表現可能であることを確立すること。このことにより共形不変性が証明される。
• 標準的な量子場の理論の公理（ワイツマン公理）の下で、コンパクトスカラーなどの見かけの反例が、同値性を破っていないことを主張すること。

提案手法

• ディラトン散乱振幅を通じた $a$-theorem の議論を用いて、ユニタリスケール不変理論において $p^2 = 0$ のとき $\tilde{T}(p) = 0$ を示す。
• 交差対称性と光学定理を適用し、完全なS行列がなくても、運動量空間における $\tilde{T}(p)$ の行列要素が消えることを示す。
• $T = \partial^2 O$ の解として $O = \partial^{-2} T$ を定義し、解析性と局所性の条件を通じてそれが適切に定義されることを示す。
• 演算子の局所性を保証するため、$O$ が局所的演算子であることを示すためにワイツマン公理を根拠とする。
• 運動量空間における相関関数を、オンシェル過程による特異性のみを持つ解析関数として分析する。
• コンパクトスカラーを潜在的な反例として検討するが、ゲージ固定後に標準的な非コンパクトスカラーに還元されることから、ワイツマン公理の下では有効な反例でないと主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元におけるユニタリスケール不変性は、共形不変性を含意するか？
• RQ2 ユニタリスケール不変理論において、エネルギー運動量テンソル $T$ のトレースが局所的演算子 $O$ を用いて $T = \partial^2 O$ と表せるか？
• RQ3 $Χ$ ゲージ対称性を持つコンパクトスカラー理論は、スケール-共形同値性の真の反例であるか？
• RQ4 行列要素の解析性と交差対称性は、$p^2 = 0$ における $\tilde{T}(p)$ の消えることをどのように支援するか？
• RQ5 演算子 $O = \partial^{-2} T$ が適切に定義され、局所的であるための条件は何か？

主な発見

• 4次元ユニタリスケール不変な量子場の理論において、トレース $T$ のフーリエ変換は光的運動量（$p^2 = 0$）で消える、すなわち $\tilde{T}(p) = 0$ が成り立つ。
• トレース $T$ は、$O = \partial^{-2} T$ が与えられた仮定の下で適切に定義された局所的演算子である限り、$T = \partial^2 O$ と局所的に表現可能である。
• このような局所的 $O$ の存在は、エネルギー運動量テンソルがトレースレスに改善可能であることを示し、これにより共形不変性が確立される。
• しばしば反例と見なされるコンパクトスカラー場理論は、ワイツマン公理の下では、ゲージ固定後に標準的な自由スカラーに還元されるため、有効な反例ではない。
• $f \to 0$ の極限において、$Χ$ 対称性が$Σ$ 対称性に変わるが、理論は非コンパクトスカラーと等価のままである。
• 非局所的演算子や非自明なトポロジー（例：$Σ^{1,3} \setminus S$）はスケール不変性を破る可能性があるが、本分析の範囲外であり、主たる結果に反するものではない。