[論文レビュー] Universal Topological Data for Gapped Quantum Liquids in Three Dimensions and Fusion Algebra for Non-Abelian String Excitations

Heidar Moradi, Xiao-Gang Wen|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Apr 17, 2014

Quantum optics and atomic interactions被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、空間変換における基底状態波動関数の重なりに符号化された普遍的位相的データ——3次元のギャップのある量子液体における位相的秩序を完全に特徴付ける——を提案する。3次トーラス上での$SL(3,\mathbb{Z})$表現を調べることで、1次元の次元削減により、非アーベル的ストリング励起の融合および braiding 統計が明らかになることが示され、2次元におけるモジュラー$S$および$T$行列の高次元への一般化がなされる。

ABSTRACT

Recently we conjectured that a certain set of universal topological quantities characterize topological order in any dimension. Those quantities can be extracted from the universal overlap of the ground state wave functions. For systems with gapped boundaries, these quantities are representations of the mapping class group $MCG(\mathcal M)$ of the space manifold $\mathcal M$ on which the systems lives. We will here consider simple examples in three dimensions and give physical interpretation of these quantities, related to fusion algebra and statistics of particle and string excitations. In particular, we will consider dimensional reduction from 3+1D to 2+1D, and show how the induced 2+1D topological data contains information on the fusion and the braiding of non-Abelian string excitations in 3D. These universal quantities generalize the well-known modular $S$ and $T$ matrices to any dimension.

研究の動機と目的

• 基底状態波動関数の重なりから導かれる普遍的位相的データを用いて、任意次元における位相的秩序を特徴付ける一般枠組みを確立すること。
• 3次トーラス上での$SL(3,\mathbb{Z})$表現が、3次元のギャップのある量子液体の位相的不変量をどのように符号化するかの物理的解釈を調査すること。
• 1つの空間次元をコンパクト化することによる3次元から2次元への次元削減が、非アーベル的ストリング励起の融合およびbraiding統計をどのように明らかにするかを示すこと。
• $SL(3,\mathbb{Z})$表現を$SL(2,\mathbb{Z})$部分表現に分解することにより、出現する2次元の任意onsの完全な位相的データが符号化されることを示すこと。
• $S^2 \times S^1$および$T^3$における位相的 degeneracy を用いて、ゲージ理論的モデルにおける粒子およびストリングの種類の数を導出すること。

提案手法

• 3次トーラス$T^3$の自己同型$A$に対する普遍的位相的重なり$\langle \psi_\alpha | \hat{\mathcal{O}}_A | \psi_\beta \rangle = e^{-\alpha V + o(1/V)} M^{A}_{\alpha\beta}$を計算し、$SL(3,\mathbb{Z})$表現を導出する。
• 写像クラス群$\texttt{MCG}(T^3) = SL(3,\mathbb{Z})$を用いて、局所的摂動に対して頑健な位相的不変量を定義する。
• 1つの空間次元をコンパクト化することにより次元削減を行い、3次元の位相的秩序$\mathcal{C}^{3D}$を2次元の位相的秩序の直和$\mathcal{C}^{2D}_i$に写像する。
• $SL(3,\mathbb{Z})$表現を$SL(2,\mathbb{Z})$部分群に制限することで2次元の位相的データを抽出し、分岐則$R^{3D} = \bigoplus_i R^{2D}_i$を導出する。
• $S^2 \times S^1$上での位相的 degeneracy を用いて粒子の種類を特定し、縮退した基底状態の数がゲージ群$G$の共役類の数に等しいことを示す。
• 次元削減によって得られた2次元の任意onsデータと、3次元におけるストリングおよび粒子の統計を関連づけ、非アーベル的braidingおよび融合則を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ギャップのある3次元量子液体における普遍的位相的不変量は、空間変換下での基底状態波動関数の重なりからどのように抽出可能か？
• RQ2 $SL(3,\mathbb{Z})$表現が3次トーラス上での写像クラス群に作用する際、粒子およびストリング励起の観点から物理的に何を意味するか？
• RQ3 1次元のコンパクト化による3次元から2次元への次元削減が、3次元における非アーベル的ストリング励起の融合およびbraiding統計をどのように明らかにするか？
• RQ4 $SL(3,\mathbb{Z})$表現を$SL(2,\mathbb{Z})$部分表現に分解することと、出現する2次元の任意onsの位相的データとの関係は何か？
• RQ5 特定の多様体$S^2 \times S^1$における位相的 degeneracy から、3次元の位相的秩序における粒子およびストリングの種類の数をどのように決定できるか？

主な発見

• 3次トーラス$T^3$上での$SL(3,\mathbb{Z})$表現は、3次元のギャップのある量子液体の普遍的位相的データを符号化しており、生成子$\hat{\tilde{S}}$および$\hat{\tilde{T}}$はトーラスのサイクルの巡回置換およびシアー変換に対応する。
• 3次元の位相的秩序$\mathcal{C}_G^{3D}$を2次元に次元削減すると、アーベル的$G = \mathbb{Z}_N$では$\mathcal{C}_G^{3D} = \bigoplus_{n=1}^{|G|} \mathcal{C}_G^{2D}$となり、非アーベル的$G$では$\mathcal{C}_G^{3D} = \bigoplus_C \mathcal{C}_{G_C}^{2D}$となる。ここで$C$は共役類を走る。
• $SL(3,\mathbb{Z})$表現の$SL(2,\mathbb{Z})$部分表現への分岐則は、アーベル的群のための完全な3ストリング統計を符号化しており、2次元におけるモジュラー$S$および$T$行列の一般化である。
• 有限群$G$を用いたゲージ理論における粒子の種類の数は、$G$の共役類の数に等しく、これは$S^2 \times S^1$上での位相的 degeneracy によって決定される。
• $SL(3,\mathbb{Z})$の$\tilde{T}$生成子は、基底状態の重なりから計算されても、粒子およびストリング励起の統計に関する情報を含んでいる。
• 非アーベル的ストリング励起の3次元における融合およびbraiding則は、次元削減によって得られた2次元の位相的秩序データから抽出可能である。