[論文レビュー] Varieties with too many rational points

T. D. Browning, Daniel Loughran|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 31被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、数体上のFano多様体で、有理点の数え上げ関数が反 canonical 高さ関数のもとで、元の多様体と同程度の漸近的成長率を示す飽和部分多様体（有理点が閉じた部分多様体であり、その有理点の数え上げ関数が元の多様体と同程度の成長を示すもの）を含むものについて調査する。より洗練された飽和の定義と高さ関数への依存性を用いて、Peyreが予測した定数を用いたManin予想が、このような多様体では成り立たないことを証明する。特に、適切な高さ関数の選択により、任意の開部分集合における数え上げ関数がPeyreの定数を任意の因数だけ超えることができ、これは、先導定数の均一性に根本的な障害があることを示している。

ABSTRACT

We investigate Fano varieties defined over a number field that contain subvarieties whose number of rational points of bounded height is comparable to the total number on the variety.

研究の動機と目的

• 有理点の高さが有界なとき、そのうちの正の割合を占める部分多様体を有するFano多様体を調査すること。
• Manin予想がPeyreの予測定数を用いて成り立たない条件を特定すること。
• 同じ漸近的成長率を示すという条件を満たすように、蓄積部分多様体の概念を洗練させること。
• 飽和部分多様体が存在する場合、Manin予想における先導定数が、すべての反 canonical 高さ関数にわたって一様に成り立たないことを示すこと。
• 具体的な反例（例えば、二次式バンドルや完全交差）を提供し、Peyreの先導定数に関する予想を反証すること。

提案手法

• 有理点の数え上げ関数 N(Y°, H, B) が、任意の空でない開部分集合 Y° ⊂ Y およびある反 canonical 高さ H に対して、B(log B)^{ρ(X)−1} と同程度に成長するという条件によって定義される、飽和部分多様体 Y ⊂ X の概念を導入する。
• 高さ関数のスケーリングを用いて、任意の A ≥ 0 に対して、数え上げ関数が任意の開部分集合 U ⊂ X で (1+A) 倍以上になるように、修正された高さ関数 H_A を構成することを示す。
• 二次曲面およびフラッグ多様体における有理点の理論を応用し、族に属する分解可能二次式が飽和部分多様体をなすことを示す。
• P³×P³ 上の二次式バンドルにおいて、分解可能ファイバーの集合がZariski稠密であることを利用し、Corollary 1.3 を適用して、先導定数の均一性の失敗を結論づける。
• Lefschetzの超平面定理を用いてPicard群のランクを計算し、Manin予想が予測する漸近的成長率が正当化されることを確認する。
• 例えば x₀x₁x₂x₃ が平方数であるという条件を満たす有理点の集合が薄い（thin）ことを示し、飽和現象の幾何的整合性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Fano多様体が、反 canonical 高さ関数のもとで、元の多様体と同程度の漸近的成長率を示す有理点を有する部分多様体を含む条件は何か？
• RQ2 このような飽和部分多様体が存在する場合、Peyreの予想（Manin予想における先導定数）が、すべての反 canonical 高さ関数にわたって一様に成り立つ可能性はあるか？
• RQ3 何らかの幾何的・算術的条件が、部分多様体が飽和であることを保証するのか。また、これは弱い蓄積や強い蓄積とどのように関係するか？
• RQ4 飽和部分多様体がZariski稠密である場合、その影響は開部分集合におけるManin予想の有効性にどのように現れるか？
• RQ5 二次式バンドルやFano3次元完全交差多様体は、Peyreの予想に対する反例としてどの程度有効か？

主な発見

• 任意の数体 k 上のFano多様体 X とその飽和部分多様体 Y に対して、任意の A ≥ 0 に対して、反 canonical 高さ関数 H_A が存在し、任意の開部分集合 U ⊂ X に対して、liminf_{B→∞} N(U, H_A, B)/(B(log B)^{ρ(X)−1}) > (1+A) c_{H_A, Peyre} が成り立つ。
• 飽和部分多様体の和集合が X においてZariski稠密である場合、Peyreの予想（先導定数に関するもの）は、すべての反 canonical 高さ関数にわたって一様に失敗する。
• P³×P³ 上の二次式バンドル X ⊂ P³×P³ で、x₀y₀² + x₁y₁² + x₂y₂² + x₃y₃² = 0 で定義されるものには、Zariski稠密な分解可能二次式ファイバーの集合が存在し、それぞれが飽和的であるため、漸近公式におけるPeyreの定数の失敗が生じる。
• この二次式バンドルの任意の開部分集合における数え上げ関数は、高さ関数の選択により、Peyreが予測した定数を任意の因数だけ超えるようにできる。
• 集合 {x₀x₁x₂x₃ が平方数} が薄いことから、Conjecture 1.4 と整合的であり、飽和機構の幾何的整合性が裏付けられる。
• 3次元Fano完全交差多様体では、飽和部分多様体（例えば直線や二次曲線）が存在し、特に2つの二次式の交わり（intersection of two quadrics）ではZariski稠密である場合がある。この場合、先導定数の均一性が失われる。