[論文レビュー] Vector bundles induced from jet schemes

Bailin Song|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、jetスキームを用いて複素多様体上に正則ベクトル束 $ A_m(E,F) $ を構成し、多様体の $ SU(N) $ トロニティを持つ場合、その正則切断が $ J_m(SL(N,\mathbb{C})) $-不変量に対応することを示している。主な結果は、K3多様体上のchiral de Rham複体の全切断が、中心指数6の単純な $ \mathcal{N}=4 $ スーパー共形ボソン代数をなすことである。これは、Kummer多様体に関する以前の結果の一般化である。

ABSTRACT

A family of holomorphic vector bundles is constructed on a complex manifold $X$. The space of the holomorphic sections of these bundles are calculated in certain cases. As an application, if $X$ is an $N$-dimensional compact Kähler manifold with holonomy group $SU(N)$, the space of holomorphic vector fields on its jet scheme $J_m(X)$ is calculated. We also prove that the space of the global sections of the chiral de Rham complex of a K3 surface is the simple $N=4$ superconformal vertex algebra with central charge $6$.

研究の動機と目的

• 複素多様体上にjetスキームを用いて、正則ベクトル束の族 $ A_m(E,F) $ を構成すること。
• 底多様体が $ SU(N) $ トロニティを持つ場合、$ A_m(E,F) $ の正則切断の空間を計算すること。
• 結果を用いて、$ N $ 次元のコンパクトケーラー多様体 $ X $ に対して、$ J_m(X) $ 上の正則ベクトル場の空間を計算すること。
• K3多様体上のchiral de Rham複体の全切断を特定し、$ \mathcal{N}=4 $ スーパー共形ボソン代数と関連付けること。

提案手法

• $ A_m(E,F) $ を、$ \pi_m: J_m(X) \to X $ を通じた $ \operatorname{Sym}^*J_m(E) \otimes \wedge^*J_m(F) $ のプッシュフォワードとして定義する。
• jetスキーム $ J_m(X) $ を用いて、$ X $ から高階のjet空間へのテンソル束の持ち上げを、$ \operatorname{Hom}(\operatorname{Spec}(A[t]/(t^{m+1})), X) $ を通じた関手的定義を用いて行う。
• 多様体 $ X $ が $ SU(N) $ トロニティを持つ場合、$ A_m(E,F) $ の正則切断と、jetバンドルの $ J_m(SL(N,\mathbb{C})) $-不変切断との間の同型を確立する。
• chiral Poincaré双対性とK3多様体の楕円的指標を用いて、chiral de Rhamコホモロジーの次数付き次元を計算する。
• 古典的不変量理論と $ \partial $-環構造を用いて、$ R^{\mathfrak{sl}(N,\mathbb{C})[t]} $、すなわちjetバンドルのファイバーの不変量を同定する。
• K3多様体上のchiral de Rham複体の全切断が、$ Q(z), L(z), J(z), G(z), B(z), D(z), C(z), E(z) $ の8つの場によって強く生成される単純なボソン代数をなすことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、複素多様体上のjetスキームから正則ベクトル束を体系的に構成できるか？
• RQ2 底多様体が $ SU(N) $ トロニティを持つ場合、$ A_m(E,F) $ の正則切断の空間は何か？
• RQ3 $ N $ 次元のコンパクトケーラー多様体 $ X $ が $ SU(N) $ トロニティを持つ場合、$ J_m(X) $ 上の正則ベクトル場はどのように振る舞うか？
• RQ4 K3多様体上のchiral de Rham複体の全切断の構造は何か？
• RQ5 K3多様体上のchiral de Rham複体は、既知のスーパーモジュラーボソン代数と特定できるか？

主な発見

• $ SU(N) $ トロニティを持つ $ N $ 次元のコンパクトケーラー多様体 $ X $ に対して、$ J_m(X) $ 上の正則ベクトル場の空間の次元は $ m $ である。
• K3多様体上のchiral de Rham複体の全切断は、中心指数6の単純な $ \mathcal{N}=4 $ スーパー共形ボソン代数をなす。
• 多様体 $ X $ が $ SU(N) $ トロニティを持つ場合、$ A_m(E,F) $ の正則切断の空間は、ファイバーの $ J_m(SL(N,\mathbb{C})) $-不変量の空間に同型である。
• K3多様体上のchiral de Rham複体の全切断は、$ Q(z), L(z), J(z), G(z), B(z), D(z), C(z), E(z) $ の8つの場によって強く生成される。
• $ \partial $-環の不変量 $ R^{\mathfrak{sl}(N,\mathbb{C})[t]} $ は、$ \sum \beta^i c^i $、$ \sum b^i \partial \gamma^i $、$ b^1 \cdots b^N $、$ c^1 \cdots c^N $ を含む8つの特定の要素によって生成される。
• Enriques多様体 $ X $ に対して、chiral de Rham複体は $ \Omega_X^{ch}(X) \cong \Omega_{\tilde{X}}^{ch}(\tilde{X})^\sigma $ を満たす。ここで $ \sigma $ は被覆K3多様体 $ \tilde{X} $ 上の固定点のない対合である。