[论文解读] Vertex-weighted Online Stochastic Matching with Patience Constraints

Brian Brubach, Nathaniel Grammel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2019

Optimization and Search Problems被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新的在线随机匹配模型，包含顶点权重、随机奖励和耐心约束，提出了一种新算法，实现了0.5的竞争比——这是该类问题的首个常数竞争比。论文倡导采用一种更公平的竞争比定义，即将在线算法与同一随机设定下的离线对应算法进行比较，而非与确定性线性规划松弛相比。

ABSTRACT

Online Bipartite Matching is a classic problem introduced by Karp, Vazirani, and Vazirani (Proc. ACM STOC, 1990) and motivated by applications such as e-commerce, online advertising, and ride-sharing. We wish to match a set of online vertices (e.g., webpage views, users, customers, or riders) which arrive sequentially one-by-one to a set of offline vertices (e.g., ads, items, or drivers). Each vertex can be matched at most once and the goal is to maximize the matching size. Here, we consider the more general problem allowing vertex weights (on the offline vertices, representing differing item prices, for example), stochastic rewards (attempted matches may be unsuccessful, providing no reward), and patience constraints (each online vertex has a patience, representing the maximum number of unsuccessful match attempts allowed for it). In doing so, we discuss and clarify the definition of competitive ratio in the stochastic setting and compare competing notions. Specifically, we advocate for the use of a competitive ratio that compares the performance of an online algorithm to that of an offline algorithm in the same stochastic setting, whereas some prior work---see, e.g., Mehta and Panigrahi (FOCS, 2012)---uses a linear programming (LP) formulation to compare the performance of an online algorithm to the optimal solution of a closely related non-stochastic offline problem. We define the stochasticity gap for evaluating the usefulness of an LP formulation (which exchanges probabilities for fractional coefficients) of a given stochastic problem and bound this gap for a commonly used LP. We further present and analyze a new algorithm for our problem, achieving a competitive ratio of 0.5, the first constant competitive ratio for this and several related problems.

研究动机与目标

• 为解决先前竞争比定义在随机在线匹配中的局限性，通过在相同随机条件下将在线算法与离线算法进行比较，以实现更合理的评估。
• 形式化并界定随机性差距——即使用概率的线性规划公式与真实随机问题之间的差异，尤其针对常用的线性规划松弛。
• 设计并分析一种针对带耐心约束的顶点加权在线随机匹配的新算法，实现常数竞争比。
• 扩展在线匹配模型在现实场景中的适用性，如电子商务、广告投放和网约车服务，其中物品具有不同价值，匹配可能失败，且用户耐心有限。

提出的方法

• 提出一种新的竞争比定义，将在线算法与在相同随机奖励和耐心约束下运行的离线算法进行比较，而非与确定性线性规划解进行比较。
• 定义并分析随机性差距，即随机问题最优解与线性规划松弛解的比值，其中概率被替换为分数系数。
• 提出一种新算法，根据到达的在线顶点的耐心程度、离线顶点的权重以及成功匹配的概率，动态决定是否进行匹配。
• 结合随机舍入技术与耐心感知的匹配决策，确保在随机奖励下具备性能保证。
• 通过将算法的期望匹配大小与同一随机设定下最优离线算法的期望匹配大小关联，建立理论上的竞争比边界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机在线匹配设定中，最合适的竞争比定义是什么？它与以往基于线性规划的比较有何不同？
• RQ2 在带耐心约束的顶点加权在线随机匹配中，标准线性规划松弛的随机性差距最大可能有多大？
• RQ3 是否可以在这种推广设定中实现常数竞争比？如果是，哪些算法技术使其成为可能？
• RQ4 耐心约束和随机奖励如何影响在线匹配算法在实际应用中的性能？

主要发现

• 本文建立了一种新的竞争比定义，将在线算法与同一随机环境下的离线算法进行比较，相较于以往基于线性规划的比较，提供了更公平的基准。
• 对于一种常用线性规划松弛，其随机性差距是被限制的，表明此类松弛是真实随机问题的有用但保守的近似。
• 提出了一种新算法，实现了0.5的竞争比，这是首个在带耐心约束的顶点加权在线随机匹配中实现常数竞争比的算法。
• 该算法有效平衡了耐心程度、奖励权重和成功概率，在不确定性下最大化期望匹配规模。