[論文レビュー] Weak limit theorem of a two-phase quantum walk with one defect

Shimpei Endo, Takako Endo+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 14, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 37被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、原点に1つの欠陥を有する2相量子ウォークについて、生成関数法を用いて力学的拡散を分析することで、最初の弱極限定理を確立した。非平衡ダイナミクスを捉える非対称な弱極限測度を導出し、時間平均では対称であるにもかかわらず、空間的不均一性が対称性を破ることを明らかにした。確率密度関数は、コインパラメータと初期状態の関数として明示的に表現された。

ABSTRACT

We attempt to analyze a one-dimensional space-inhomogeneous quantum walk (QW) with one defect at the origin, which has two different quantum coins in positive and negative parts. We call the QW "the two-phase QW", which we treated concerning localization theorems [10]. The two-phase QW has been expected to be a mathematical model of the topological insulator [16] which is an intense issue both theoretically and experimentally [3,5,11]. In this paper, we derive the weak limit theorem describing the ballistic spreading, and as a result, we obtain the mathematical expression of the whole picture of the asymptotic behavior. Our approach is based mainly on the generating function of the weight of the passages. We emphasize that the time-averaged limit measure is symmetric for the origin [10], however, the weak limit measure is asymmetric, which implies that the weak limit theorem represents the asymmetry of the probability distribution.

研究の動機と目的

• 原点に1つの欠陥を有する1次元の空間不均一量子ウォークの弱極限定理を導出すること。
• トポロジカル絶縁体をモデル化する2相量子ウォークの漸近的力学的拡散挙動を分析すること。
• 弱極限測度が非対称であることを示し、時間平均の極限測度とは対照的であることを明らかにすること。
• 正負の半直線に異なる量子コインを有する不均一量子ウォークに、生成関数法を拡張すること。
• 局在化と力学的拡散を組み合わせた、漸近的挙動の完全な数学的記述を提供すること。

提案手法

• 量子ウォークのパスの重みの生成関数を用いて、漸近的挙動を分析する。
• 生成関数の特異点を特定し、確率分布への主要寄与を抽出する。
• この手法は、生成関数の逆フーリエ変換を計算し、臨界点付近での定常位相近似に注目する。
• 生成関数の特異性の近傍におけるウォークの特性関数の振る舞いを分析することで、弱極限測度を導出する。
• 初期コイン状態および欠陥の両側における量子コインの位相差を組み込む。
• 得られた測度は、局在化に対応する原点におけるディラックデルタ成分と、コインパラメータおよび初期状態に依存する連続的密度関数の組み合わせで表される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1つの欠陥を有する2相量子ウォークの弱極限挙動は、均一なウォークとどのように異なるか？
• RQ2 時間平均の極限測度が対称であるにもかかわらず、なぜ弱極限測度は非対称なのか？
• RQ3 2相量子ウォークにおける力学的拡散成分の数学的形は何か？
• RQ4 生成関数法は、欠陥の両側で異なるコインを有する不均一量子ウォークに成功裏に拡張可能か？
• RQ5 コインパラメータと初期状態は、漸近的確率分布にどのように影響するか？

主な発見

• 弱極限測度は非対称であり、正負の半直線に異なる量子コインが存在するための空間的対称性の破れを反映している。
• 力学的拡散成分は、$ f_K(x; 1/\rho) $ に比例する密度関数で記述され、ここで $ \rho = \sqrt{2} $ であり、$ f_K $ は式 (2) で定義される。
• 弱極限の確率密度関数は、コインパラメータ $ \sigma_+ $, $ \sigma_- $ および初期状態 $ \alpha, \beta $ の関数として明示的に導出され、$ \sin k \cos k $ の符号に依存する。
• 測度には、局在化に対応する原点におけるディラックデルタ成分が含まれており、重み $ C \in [0,1) $ であり、先行する局在化定理と整合的である。
• 導出結果から、非対称性は、時間平均の測度が対称であっても、量子コインの位相差と初期状態の相互作用によって生じることが示された。
• 最終的な弱極限測度は、$ \mu(dx) = C\delta_0(dx) + w(x)f_K(x;1/\sqrt{2})dx $ として表され、$ w(x) $ はコインパラメータおよび初期状態に依存する。