[論文レビュー] Weil-Petersson geometry on the space of Bridgeland stability conditions

Yu-Wei Fan, Atsushi Kanazawa+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2017

Geometry and complex manifolds参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、Calabi–Yau 三角圏のブリッジランド安定性条件の空間に Weil–Petersson 距離を定義し、ストリング的ケーラーmoduli空間の微分幾何的枠組みを確立する。この距離は、楕円曲線の自己積に関する Siegel モジュラー多様体上の Bergman 距離と一致し、五次三つfold の大体積極限近傍で Poincaré 距離の量子論的変形であることが示され、鏡対称性の双対性を支持する。

ABSTRACT

Inspired by mirror symmetry, we investigate some differential geometric aspects of the space of Bridgeland stability conditions on a Calabi-Yau triangulated category. The aim is to develop theory of Weil-Petersson geometry on the stringy Kähler moduli space. A few basic examples are studied. In particular, we identify our Weil-Petersson metric with the Bergman metric on a Siegel modular variety in the case of the self-product of an elliptic curve.

研究の動機と目的

• Calabi–Yau 三角圏のブリッジランド安定性条件の空間に、ストリング的ケーラーmoduli空間幾何の候補として Weil–Petersson 距離を定義すること。
• 大体積極限近傍での局所的解析の限界を克服し、鏡対称性のためのグローバルな微分幾何的枠組みを提供すること。
• アーベル面や五次三つfold などの主要な例における明示的計算を通じて、提唱を検証すること。
• 鏡対称moduli空間上の Weil–Petersson 幾何の等長性を要請することで、予想的な鏡対応を精緻化すること。
• ストリング的ケーラーmoduli空間の埋め込みに関する予想の基準として、Weil–Petersson 距離の引き戻しの非退化性条​​件を確立すること。

提案手法

• ブリッジランド安定性条件の空間上で、 twisted Mukai 偏りの虚部を用いて Weil–Petersson 距離を定義する。
• Mukai 偏りに含まれるチャーン類およびTodd類を用い、安定性条件の中心的スコアを距離のポテンシャル関数として活用する。
• 複素化されたケーラー類の指数関数と Gromov–Witten 不変量からの量子補正を含む中心的スコアの公式を適用する。
• 楕円曲線の自己積に対して距離を明示的に計算し、$\mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{H}_2$ 上の Bergman 距離と一致することを示す。
• 五次三つfold の場合、量子補正付き中心的スコアと大体積極限近傍での漸近展開を用いて分析する。
• Orlov 同型 $\mathrm{D^bCoh}(X) \cong \mathrm{HMF}(W)$ を用い、行列因子化カテゴリを介して Gepner 点近傍での距離を探索する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi–Yau 圈のブリッジランド安定性条件の空間に、Weil–Petersson 距離をグローバルに定義できるか？
• RQ2 この安定性空間上の Weil–Petersson 距離は、鏡の複素moduli空間上の古典的 Weil–Petersson 距離に対応するか？
• RQ3 ストリング的ケーラーmoduli空間上の Weil–Petersson 距離は、五次三つfold の大体積極限近傍で Poincaré 距離の量子論的変形であるか？
• RQ4 五次三つfold の Gepner 点近傍における Weil–Petersson 距離の振る舞いはいかなるものか？ また、その点でオーブィフォールド特異点を示すか？
• RQ5 ストリング的ケーラーmoduli空間上の Weil–Petersson 距離の引き戻しは非退化のままであろうか？ これにより鏡の予想が支持されるか？

主な発見

• 自己積 $A = E_\tau \times E_\tau$ に対して、$\overline{\mathrm{Aut}}_{\mathrm{CY}}(\mathcal{D}_A)\backslash\mathrm{Stab}^+_{\mathcal{N}}(\mathcal{D}_A)/\mathbb{C}^\times$ 上の Weil–Petersson 距離は、$\mathrm{Sp}(4,\mathbb{Z})\backslash\mathfrak{H}_2$ 上の Bergman 距離と等長である。
• 五次三つfold の Weil–Petersson ポテンシャルは、Poincaré 距離の量子論的変形であり、漸近展開 $K_{\mathrm{WP}}(\tau) \sim -\log(\frac{4}{3}H^3\Im(\tau)^3) + \text{constant} + O(q)$ を持つ。
• 十分に小さい $q$ に対して Weil–Petersson 距離は非退化であり、大体積極限までの Weil–Petersson 距離が無限大であることを示唆する。
• Gepner 点近傍では、自己同型 $\Phi^5 = [2]$ が $K$-理論上で恒等写像に降下する $\mathbb{Z}_5$-対称性により、距離はオーブィフォールド距離であると予想される。
• Gepner 点に近づくと、Weil–Petersson 距離の曲率は $+\infty$ に近づくことが分かっており、鏡対称性および量子幾何学の結果と整合的である。
• ストリング的ケーラーmoduli空間上の Weil–Petersson 距離の引き戻しは、非退化であると予想され、鏡の埋め込みに関する微分幾何的基準を提供する。