[論文レビュー] Local Calabi-Yau manifolds of type ilde{A} via SYZ mirror symmetry

Atsushi Kanazawa, Siu-Cheong Lau|arXiv (Cornell University)|May 2, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 53被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、無限型のトーリックケーライ・ヤウ多様体上の等長的SYZ理論を用いて、$ͷ{A}$型の局所ケーライ・ヤウ多様体に対するSYZ鏡像対称性の幾何的実現を確立する。鏡像多様体はリーマン・シータ関数を用いて表現され、開Gromov–Wittenインバリアントの生成関数が導出され、Yau–Zaslow公式の3次元版が証明され、Hollowood–Iqbal–Vafaの鏡像対称性予想に対する数学的基盤が提供される。

ABSTRACT

We carry out the SYZ program for the local Calabi--Yau manifolds of type $\widetilde{A}$ by developing an equivariant SYZ theory for the toric Calabi--Yau manifolds of infinite-type. Mirror geometry is shown to be expressed in terms of the Riemann theta functions and generating functions of open Gromov--Witten invariants, whose modular properties are found and studied in this article. Our work also provides a mathematical justification for a mirror symmetry assertion of the physicists Hollowood--Iqbal--Vafa.

研究の動機と目的

• 無限型のトーリックケーライ・ヤウ多様体に対して、$ͷ{A}$型幾何を扱えるように特化した等長的SYZ理論を構築すること。
• リーマン・シータ関数と開Gromov–Wittenインバリアントの生成関数を用いて、$ͷ{A}$型の局所ケーライ・ヤウ表面および3次元多様体の明示的SYZ鏡像多様体を構成すること。
• 局所ケーライ・ヤウ3次元多様体の文脈において、Hollowood–Iqbal–Vafaの鏡像対称性予想に対する数学的根拠を提供すること。
• SYZ枠組み内での開Gromov–Wittenインバリアントの生成関数のモジュラー性を明らかにすること。

提案手法

• 無限型のトーリックケーライ・ヤウ多様体に特化した等長的SYZ理論を構築し、$ͷ{A}$型幾何を扱えるようにする。
• SYZファイブレーションを用いて、アーベル多様体上のコニカルファイブレーションとして鏡像多様体を構成し、鏡像幾何を特性付きリーマン・シータ関数に符号化する。
• 局所ケーライ・ヤウ3次元多様体$X_{(1,1)}$の鏡像を$uv = \Delta(\Omega) \cdot \Theta_2(\zeta_1 - \frac{\tau}{2}, \zeta_2 - \frac{\rho}{2}; \Omega)$として導出し、ここで$\Theta_2$は genus 2 リーマン・シータ関数である。
• 開Gromov–Wittenインバリアントの生成関数$\Delta(\Omega)$を、関数$\phi(q)$の高次元版と特定し、$\widetilde{A}_0$に対して$\phi(q) = \frac{q^{1/24}}{\eta(q)}$を証明する。
• Kodaira埋め込み定理と周期行列形式を用いて、鏡像アーベル多様体を$\mathbb{C}^m / (\mathbb{Z}^m \oplus \Omega \mathbb{Z}^m)$の商として実現する。
• シフト指数関数写像を用いて、複素座標$y_i = e^{2\pi i \delta_i z_i}$で鏡像幾何を表現し、代数的構造とシンプレクティック構造を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SYZ鏡像対称性を、特に高次元において、$\widetilde{A}$型の局所ケーライ・ヤウ多様体に体系的に適用する方法は何か？
• RQ2 $X_{(1,1)}$の局所ケーライ・ヤウ3次元多様体に対するSYZ鏡像の正確な幾何的・代数的構造は何か？
• RQ3 SYZ枠組み内での開Gromov–Wittenインバリアントの生成関数$\Delta(\Omega)$のモジュラー性は何か？
• RQ4 Hollowood–Iqbal–Vafaの$X_{(1,1)}$に対する物理的鏡像対称性予想は、SYZ幾何を用いて数学的に裏付けられるか？
• RQ5 開Gromov–Wittenインバリアントとリーマン・シータ関数は、$\widetilde{A}$型幾何のSYZ鏡像構成においてどのように相互作用するか？

主な発見

• 局所ケーライ・ヤウ表面$\widetilde{A}_0$のSYZ鏡像は$uv = \phi(q) \cdot \vartheta(\zeta - \frac{\tau}{2}; \tau)$で与えられ、ここで$\phi(q) = \frac{q^{1/24}}{\eta(q)}$は開Gromov–Wittenインバリアントの生成関数である。
• 局所ケーライ・ヤウ3次元多様体$X_{(1,1)}$のSYZ鏡像は、アーベル曲面上のコニカルファイブレーションとして実現され、$uv = \Delta(\Omega) \cdot \Theta_2(\zeta_1 - \frac{\tau}{2}, \zeta_2 - \frac{\rho}{2}; \Omega)$で定義される。
• $X_{(1,1)}$の開Gromov–Wittenインバリアントを生成する関数$\Delta(\Omega)$はモジュラー性を示し、高 genus シーゲルモジュラー形式と関連すると予想される。
• $X_{(1,1)}$の鏡像曲線は、genus 2 リーマン・シータ関数$\Theta_2$の零点集合として与えられ、Hollowood–Iqbal–Vafaの鏡像対称性の主張を幾何的に確認する。
• 本稿は、$\widetilde{A}_0$の場合における生成関数$\phi(q)$の閉形式表現を提供し、Yau–Zaslow公式の開インバリアント版を証明する。
• 構成により、SYZ鏡像対称性における量子補正とモジュラー形式との間の明確な関係が確立される。