[論文レビュー] Well-posedness and tamed Euler schemes for McKean-Vlasov equations driven by Lévy noise

Neelima Neelima, Sani Biswas+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 39被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、超線形成長と無限のLévy測度を含む、きわめて弱い条件下でLévyノイズによって駆動されるMcKean–Vlasov SDEの適切な定義を確立する。また、関連する粒子系に対してtamed Eulerスキームを導入し、強収束速度が1/2に限りなく近いことを証明する。さらに、遅延およびマコフスイッチングSDEへの拡張も行われる。

ABSTRACT

We prove the well-posedness of solutions to McKean-Vlasov stochastic differential equations driven by Lévy noise under mild assumptions where, in particular, the Lévy measure is not required to be finite. The drift, diffusion and jump coefficients are allowed to be random, can grow super-linearly in the state variable, and all may depend on the marginal law of the solution process. We provide a propagation of chaos result under more relaxed conditions than those existing in the literature, and consistent with our well-posedness result. We propose a tamed Euler scheme for the associated interacting particle system and prove that the rate of its strong convergence is arbitrarily close to $1/2$. As a by-product, we also obtain the corresponding results on well-posedness, propagation of chaos and strong convergence of the tamed Euler scheme for McKean-Vlasov stochastic delay differential equations (SDDE) and McKean-Vlasov stochastic differential equations with Markovian switching (SDEwMS), both driven by Lévy noise. Furthermore, our results on tamed Euler schemes are new even for ordinary SDEs driven by Lévy noise and with super-linearly growing coefficients.

研究の動機と目的

• 超線形成長係数および無限のLévy測度を含む最小限の仮定の下で、Lévyノイズによって駆動されるMcKean–Vlasov SDEの解の存在と一意性を確立すること。
• 従来の知られていたものよりも制限の少ない条件下で、混沌の伝搬結果を拡張し、適切な定義の枠組みと整合性を持つこと。
• 相互作用粒子系近似のためのtamed Eulerスキームの開発および解析を行い、強収束を保証すること。
• 遅延およびマコフスイッチングを伴うMcKean–Vlasov SDEに対して、tamed Eulerスキームの結果を一般化すること。
• 通常のSDEの場合を含め、Lévyノイズおよび超線形係数を伴うSDEの文脈において、tamed Eulerスキームの収束速度分析を初めて提供すること。

提案手法

• ドリフト、拡散、ジャンプ係数にきわめて弱い条件を課すことにより、Lévyノイズを伴うMcKean–Vlasov SDEの解の存在と一意性を証明する。これには、超線形成長および確率的依存性を許容する。
• 粒子系近似のためのtamed Eulerスキームを採用し、ドリフト項およびジャンプ項を切断することで爆発的成長を制御する。
• 伊藤の公式と事前モーメント推定を用いて、多項式成長を示すラプラシアン型関数に依存する、tamedスキームの安定性バインディングを導出する。
• 非マルコフ性および非一様可積分性に対処するため、時間区間 $[\ell\tau, (\ell+1)\tau]$ 上での局所化の議論を適用する。
• カップリングの議論とモーメント制御を用いて混沌の伝搬を確立し、粒子系の経験的測度が解の分布に収束することを示す。
• ホルダーの不等式と離散化誤差のモーメントバインディングを用いて収束速度を導出し、taming機構によって高次モーメントを制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が超線形に成長し、Lévy測度が無限である場合に、Lévyノイズによって駆動されるMcKean–Vlasov SDEが、最小限の条件下で一意な強い解をもつのはどのような条件か？
• RQ2 係数がリプシッツでないが、より弱い成長および可積分性条件を満たす場合に、混沌の伝搬結果を拡張できるか？
• RQ3 Lévyノイズおよび超線形係数を伴うMcKean–Vlasov SDEの粒子系近似に対するtamed Eulerスキームの強収束速度は何か？
• RQ4 同じ係数仮定のもとで、遅延またはマコフスイッチングを伴うMcKean–Vlasov SDEに対して、tamed Eulerスキームを適合および解析できるか？
• RQ5 通常のSDEの場合を含め、Lévyノイズおよび超線形ドリフトを伴うSDEの文脈において、tamedスキームの収束結果は新しいものか？

主な発見

• Lévyノイズを伴うMcKean–Vlasov SDEは、無限のLévy測度および状態変数における超線形成長を含む、きわめて弱い条件下で適切に定義される。
• 混沌の伝搬結果は緩和された条件下でも成立し、超線形ドリフトおよび拡散係数、無限のLévy測度を許容する。
• 粒子系に対するtamed Eulerスキームは、強収束速度が $1/2$ に限りなく近い、すなわち任意の $\epsilon > 0$ に対して $\text{rate} = \frac{1}{2} - \epsilon$ を達成する。
• 収束速度結果は、遅延およびマコフスイッチングを伴うMcKean–Vlasov SDEへと拡張される。
• tamed Eulerスキームは、Lévyノイズおよび超線形係数を伴う通常のSDEにおいて、初めての収束速度分析を提供する。これは画期的な貢献である。
• 解析は、モーメントバインディングと時間区間における局所化に依存し、誤差推定はホルダーの不等式およびtamed係数の可積分性によって制御される。