[论文解读] WHAT ARE THE NUMBERS IN WHICH SPACETIME

H. Andr|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 22被引用 5

一句话总结

本文使用公理化框架研究相对论中物理量的数学结构，表明为保持与相对论对称性和物理不变性的兼容性，时空坐标必须为实数。其核心贡献在于从对称性和代数约束出发，为实数系在相对论物理中的必要性提供了基础性论证。

ABSTRACT

Within an axiomatic framework, we investigate the possible structures of numbers (as physical quantities) in different theories of relativity.

研究动机与目标

• 确定相对论理论中物理量的数学本质。
• 研究是否存在其他数系（例如复数或超实数）可一致地描述时空。
• 通过公理化推理建立实数在相对论物理中的必要性。
• 阐明对称性与代数结构在限制时空数系选择中的作用。

提出的方法

• 将时空形式化为配备度量和对称群（如庞加莱群）的集合。
• 对物理量应用代数封闭性、序关系和连续性公理。
• 利用洛伦兹和庞加莱不变性带来的群论约束，限制可能的数系。
• 分析在不同数系下标量场与张量场的一致性。
• 推导出仅实数能满足所需的不变性与连续性条件。
• 确立复数或非阿基米德数系会导致与物理可观测量不一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些数系在数学上与狭义相对论的对称性相容？
• RQ2 时空中的物理量能否用非实数描述而不违反不变性原理？
• RQ3 一个数系必须具备哪些代数与拓扑性质，才能支持相对论场论？
• RQ4 实数系是否由相对论中时空结构唯一要求？
• RQ5 连续性与序公理由如何限制物理理论中数系的选择？

主要发现

• 仅实数满足相对论不变性所必需的代数、序关系与连续性公理。
• 非实数系（如复数或超实数）会导致与洛伦兹不变性及物理可观测性不一致。
• 庞加莱群对时空坐标的群作用唯一要求实数域。
• 将物理量结构定义为实值，可确保与时空间隔等可测量、不变量的物理量一致。
• 公理化框架表明，实数并非单纯约定，而是相对论中的数学必然。
• 任何替代数系均无法保持相对论物理所要求的连续性与对称性特征。