[論文レビュー] When a Stochastic Exponential is a True Martingale. Extension of a Method of Bene^s

Fima C. Klebaner, R. Liptser|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ドリフトおよびボラティリティ係数に線形成長条件を課すことにより、局所マルティンゲールの確率的指数が真のマルティンゲールであるための十分条件を、Benešの手法を拡張することで確立する。この手法は区分的近似を避けており、NovikovおよびKazamakiの条件を一般化し、ジャンプ過程、爆発的マルコフ過程、非マルコフ型半マルティンゲールに対しても有効である。

ABSTRACT

Let $\mathfrak{z}$ be a stochastic exponential, i.e., $\mathfrak{z}_t=1+\int_0^t\mathfrak{z}_{s-}dM_s$, of a local martingale $M$ with jumps $ riangle M_t>-1$. Then $\mathfrak{z}$ is a nonnegative local martingale with $\E\mathfrak{z}_t\le 1$. If $\E\mathfrak{z}_T= 1$, then $\mathfrak{z}$ is a martingale on the time interval $[0,T]$. Martingale property plays an important role in many applications. It is therefore of interest to give natural and easy verifiable conditions for the martingale property. In this paper, the property $\E\mathfrak{z}_{_T}=1$ is verified with the so-called linear growth conditions involved in the definition of parameters of $M$, proposed by Girsanov \cite{Girs}. These conditions generalize the Beneŝ idea, \cite{Benes}, and avoid the technology of piece-wise approximation. These conditions are applicable even if Novikov, \cite{Novikov}, and Kazamaki, \cite{Kaz}, conditions fail. They are effective for Markov processes that explode, Markov processes with jumps and also non Markov processes. Our approach is different to recently published papers \cite{CFY} and \cite{MiUr}.

研究の動機と目的

• 局所マルティンゲールの確率的指数が真のマルティンゲールであることを保証する、検証可能で漸近的でない条件を提供すること。
• 連続的局所マルティンゲールにとどまらず、ジャンプを含むプロセスや爆発的挙動を示すプロセスを含めた、Benešの元来の手法の一般化。
• 従来の手法で一般的に用いられる複雑な近似や区分的構成技術に依存しないこと。
• NovikovやKazamakiの古典的基準が失敗する状況、特に非マルコフ型またはジャンプ拡散設定においても適用可能な条件の確立。
• フィルタリング、測度変換、確率積分の応用における、既存のマルティンゲール検証手法の統合と拡張。

提案手法

• Girsanovの枠組みにインspiredされた、元の半マルティンゲールのドリフトおよびボラティリティ係数に対する線形成長条件を提案する。
• Doleans-Dadeの指数公式を用いて、確率的指数を連続的指数型局所マルティンゲールとジャンプ補正項の積として表現する。
• 停止時刻 $\tau_n$ を用いた局所化技術を適用し、局所マルティンゲールの取り扱いと二階可積分性を保証する。
• 付録Aに提示された一般化されたGirsanov定理を用いて、新しい測度 $\mathsf{Q}^n$ の下で、元の半マルティンゲールが局所マルティンゲールに変換されることを導出する。
• Beneš型の線形成長バウンドと組み合わせてHitsudaの条件を適用し、一様可積分性を確認することで、$\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ を確立する。
• 結果として得られるプロセス $\widetilde{\mathcal{M}}^{c,n}$ および $\widetilde{\mathcal{M}}^{d,n}$ が、明示的に計算された予測可能二次変動をもって $\mathsf{Q}^n$-マルティンゲールであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの条件下で確率的指数 $\mathfrak{z}_t = \mathcal{E}(M)_t$ が $[0,T]$ 上で真のマルティンゲールとなるか？
• RQ2 Benešの手法は、連続的局所マルティンゲールにとどまらず、ジャンプを含むプロセスや爆発的挙動を示すプロセスへと拡張可能か？
• RQ3 NovikovおよびKazamakiの条件が失敗する場合、$\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ をどのように検証できるか？
• RQ4 半マルティンゲール分解の係数に線形成長条件を課すことで、区分的近似を避けてマルティンゲール性を保証できるか？
• RQ5 一般化されたGirsanov定理は、測度変換を通じてマルティンゲール性を検証するために果たす役割は何か？

主な発見

• ドリフトおよびボラティリティ係数が線形成長条件を満たす場合、$\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ が成立し、$\mathfrak{z}$ が真のマルティンゲールであることが保証される。
• 本手法は、Novikov や Kazamaki の古典的条件が失敗する非マルコフ型、ジャンプ拡散型、爆発的マルコフ過程に対しても適用可能である。
• 本手法は区分的近似を避け、局所化と一般化されたGirsanov定理を用いた直接的検証に依存する。
• 例として $M^c_t = 2\int_0^t B_s dB_s$ を取り上げると、KazamakiおよびNovikovの条件は満たされないが、線形成長条件が依然として $\mathsf{E}[\mathfrak{z}_T] = 1$ を保証する。
• 付録Aに記載された一般化されたGirsanov定理により、変換されたプロセス $\widetilde{\mathcal{M}}^{c,n}$ および $\widetilde{\mathcal{M}}^{d,n}$ が、明示的に計算された二次変動をもって $\mathsf{Q}^n$-マルティンゲールであることが確認される。
• 本手法は強固であり、不連続パスや一様に有界でない二次変動を示す半マルティンゲールを含む広範なクラスの半マルティンゲールに適用可能である。