[論文レビュー] Worst-Case Results For Positive Semidefinite Rank

João Gouveia, Richard Z. Robinson+1 more|arXiv (Cornell University)|May 20, 2013

graph theory and CDMA systems参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非負行列、特に多面体のスラック行列の正定値行列ランク（psdランク）に対する新たな最悪ケースの上限を確立する。一般の $n$ 次元多面体で $v$ 個の頂点を持つものについて、psdランクが少なくとも $(nv)^{1/4}$ 以上であることを証明している。また、多角形についてはpsdランクが $4\lceil v/6 \rceil$ 以下であり、ランクが固定されている場合にpsdランクを決定する多項式時間アルゴリズムが存在する。

ABSTRACT

This paper presents various worst-case results on the positive semidefinite (psd) rank of a nonnegative matrix, primarily in the context of polytopes. We prove that the psd rank of a generic n-dimensional polytope with v vertices is at least (nv)^(1/4) improving on previous lower bounds. For polygons with v vertices, we show that psd rank cannot exceed 4ceil(v/6) which in turn shows that the psd rank of a p by q matrix of rank three is at most 4ceil(min{p,q}/6). In general, a nonnegative matrix of rank (k+1 choose 2) has psd rank at least k and we pose the problem of deciding whether the psd rank is exactly k. Using geometry and bounds on quantifier elimination, we show that this decision can be made in polynomial time when k is fixed.

研究の動機と目的

• 非負行列、特に多面体のスラック行列の正定値行列ランク（psdランク）に対するタイトな最悪ケース下界を確立すること。
• 多面体の次元 $n$ と頂点数 $v$ を用いた既存のpsdランク下界を改善すること。
• 多角形および低ランク行列（特にランク $\binom{k+1}{2}$ のもの）のpsdランクに対する上界を導出すること。
• 固定された $k$ に対して、行列のpsdランクがちょうど $k$ であるかどうかを決定する多項式時間アルゴリズムを開発すること。
• スレートラヒドラル表現と量化子除去を用いて、psdランクを幾何学的および代数的可解性問題と結びつけること。

提案手法

• 次元数え上げと幾何的議論を用いて、一般の $n$ 次元多面体（$v$ 個の頂点をもつ）のpsdランクに対して下界 $(nv)^{1/4}$ を導出する。
• サポートに基づく議論と組合せ的境界を適用し、$v$ 個の頂点を持つ多角形のpsdランクが $4\lceil v/6 \rceil$ 以下であることを示す。
• psdランク $k$ を決定する問題を、対称行列空間上での線形行列不等式（LMI）を含む半代数的可解性問題に還元する。
• 対称行列空間間の線形写像 $\pi$ を用いてpsd因子分解を表現し、基本対称多項式の基底を用いて問題を $\mathbb{R}^{d}$ 上に符号化する。ここで $d = \binom{k+1}{2}$ である。
• $P \subseteq \pi(\mathcal{S}_+^k) \subseteq Q$ という幾何的条件を、$L$ および $K = L^{-1}$ に関する $k \times k$ 線形行列不等式の系に翻訳し、$Ku_i$ と $v_j^T L$ の正定性を保証する。
• 実数上での量化子除去に関するレネガーの複雑度結果を適用し、$d = \binom{k+1}{2}$ が固定されているとき、psdランクの決定が時間 $(pq)^{O(d^{2.5})}$ で可能であることを示す。これは $pq$ に対して多項式時間である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $n$ 次元多面体（$v$ 個の頂点をもつ）のpsdランクに対する最悪ケース下界は何か？
• RQ2 $v$ 個の頂点を持つ多角形のpsdランクに対してタイトな上界を確立できるか？
• RQ3 ランク $\binom{k+1}{2}$ の非負行列について、そのpsdランクは正確に $k$ か？
• RQ4 $k$ が固定されている場合、行列のpsdランクが $k$ であるかどうかを決定する問題は多項式時間で解けるか？
• RQ5 スレートラヒドラル表現を用いて、psdランク問題を半代数的可解性問題にどのように還元できるか？

主な発見

• 一般の $n$ 次元多面体（$v$ 個の頂点をもつ）のpsdランクは少なくとも $(nv)^{1/4}$ 以上であり、これにより従来の下界が顕著に改善された。
• $v$ 個の頂点を持つ多角形のpsdランクは $4\lceil v/6 \rceil$ 以下であり、これはランク3の $p \times q$ 行列について、psdランクが $4\lceil \min\{p,q\}/6 \rceil$ 以下であることを意味する。
• ランク $\binom{k+1}{2}$ の非負行列のpsdランクは少なくとも $k$ 以上であり、本稿ではpsdランクが正確に $k$ であるかどうかの疑問を提起している。
• $k$ が固定されているとき、実数上での量化子除去を用いることで、行列のpsdランクが $k$ であるかどうかを多項式時間で決定できる。
• psdランクの決定問題は、$O(d^2)$ 個の変数および $O(d^2)$ 個の次数 $k$ 以下の多項式不等式を含む半代数的系に還元され、$d = \binom{k+1}{2}$ のもとで時間 $(pq)^{O(d^{2.5})}$ で解ける。
• この結果により、非負行列因子分解に対するモイトラのアルゴリズムのpsd版が得られ、固定ランクにおけるpsdランクの計算可能性が示された。