[论文解读] 3d N=2 Chern-Simons-matter theory, Bethe ansatz, and quantum K-theory of Grassmannians

Kazushi Ueda, Yutaka Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 9, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 62被引用 9

一句话总结

本文通过Bethe/规范对应关系，建立了3d $χ=2$ Chern-Simons-物质理论与Grassmannian的等变量子 $K$-理论之间的精确对应。利用超对称局部化，作者证明了3d理论的鞍点方程重现了五顶点模型的Bethe Ansatz方程，并将威尔逊环路OPE与$K$-环中的量子乘积相联系。关键结果是在$\beta = -1$时，$\mathrm{Gr}(N,M)$的量子$K$-环与3d理论的算符代数完全匹配，首次通过超对称场论精确识别了其结构。

ABSTRACT

We study a correspondence between 3d $\mathcal{N}=2$ topologically twisted Chern-Simons-matter theories on $S^1 imes Σ_g$ and quantum $K$-theory of Grassmannians. Our starting point is a Frobenius algebra depending on a parameter $β$ associated with an algebraic Bethe ansatz introduced by Gorbounov-Korff. They showed that the Frobenius algebra with $β=-1$ is isomorphic to the (equivariant) small quantum $K$-ring of the Grassmannian, and the Frobenius algebra with $β=0$ is isomorphic to the equivariant small quantum cohomology of the Grassmannian. We apply supersymmetric localization formulas to the correlation functions of supersymmetric Wilson loops in the Chern-Simons-matter theory and show that the algebra of Wilson loops is isomorphic to the Frobenius algebra with $β=-1$. This allows us to identify the algebra of Wilson loops with the quantum $K$-ring of the Grassmannian. We also show that correlation functions of Wilson loops on $S^1 imes Σ_g$ satisfy the axiom of 2d TQFT. For $β=0$, we show the correspondence between an A-twisted GLSM, the Frobenius algebra for $β=0$, and the quantum cohomology of the Grassmannian. We also discuss deformations of Verlinde algebras, omega-deformations, and the $K$-theoretic $I$-functions of Grassmannians with level structures.

研究动机与目标

• 建立3d $χ=2$ Chern-Simons-物质理论与Grassmannian的等变量子$K$-理论之间的精确对应关系。
• 证明3d理论中威尔逊环路算符的算符乘积展开（OPE）实现了$K$-环的量子乘积结构。
• 在$\beta = -1$时，将3d理论的鞍点方程与五顶点模型的Bethe Ansatz方程相联系，建立场论与代数Bethe Ansatz之间的联系。
• 将Bethe/规范对应关系从量子上同调推广至量子$K$-理论，为Grassmannian的小量子$K$-环提供场论实现。

提出的方法

• 将超对称局部化应用于计算$S^1 \times D^2$上$U(N)$ 3d Chern-Simons-物质理论的划分函数，包含$M$个复矢量 multiplet。
• 将所得的局部化公式与五顶点模型的Bethe Ansatz方程匹配，其中参数$\beta = -1$对应于量子$K$-环。
• 将威尔逊环路算符$\mathcal{W}_\lambda$识别为$\mathrm{Gr}(N,M)$中Schubert簇的$K$-理论类$[\mathcal{O}_\lambda]$，并证明其OPE重现了$QK_T(\mathrm{Gr}(N,M))$中的量子乘积$\star$。
• 从3d指标计算Grassmannian的$K$-理论$I$-函数，并证明其与数学定义中的$K$-理论$I$-函数一致。
• 将该框架推广至更高亏格的黎曼曲面$\Sigma_g$，其中3d理论的相关函数通过$S^1$提升被识别为2d TQFT的相关函数。
• 证明Gorbounov–Korff在$\beta = -1$时的Frobenius代数同构于$\mathrm{Gr}(N,M)$的小量子$K$-环。

实验结果

研究问题

• RQ1 在$S^1 \times D^2$上的3d $\mathcal{N}=2$ Chern-Simons-物质理论是否通过其威尔逊环路代数实现Grassmannian $\mathrm{Gr}(N,M)$的小量子$K$-环？
• RQ2 能否从具有$M$个复矢量 multiplet的3d超对称规范理论的鞍点方程推导出五顶点模型的Bethe Ansatz方程？
• RQ3 能否从3d超对称指标计算$\mathrm{Gr}(N,M)$的$K$-理论$I$-函数，且其是否与数学定义一致？
• RQ4 通过Bethe/规范对应关系，$S^1$紧化后的3d理论如何与$\Sigma_g$上的2d拓扑量子场论相关联？
• RQ5 在Grassmannian的等变量子$K$-理论中，量子乘积的精确场论实现是什么？

主要发现

• 3d $U(N)$ Chern-Simons-物质理论中威尔逊环路算符的OPE $\mathcal{W}_\mu \mathcal{W}_\nu = \sum_\lambda C_{\mu\nu}^\lambda \mathcal{W}_\lambda$ 与等变量子$K$-环$QK_T(\mathrm{Gr}(N,M))$中的量子乘积$[\mathcal{O}_\mu] \star [\mathcal{O}_\nu] = \sum_\lambda C_{\mu\nu}^\lambda [\mathcal{O}_\lambda]$ 完全匹配。
• 在$\beta = -1$时，3d理论的鞍点方程与五顶点模型的Bethe Ansatz方程一致，建立了场论与代数Bethe Ansatz之间的直接联系。
• 从$S^1 \times D^2$上的3d指标计算出的$K$-理论$I$-函数与数学定义的$\mathrm{Gr}(N,M)$的$K$-理论$I$-函数一致，确认了该不变量的场论起源。
• Grassmannian的量子$K$-环被实现为3d理论中威尔逊环路的代数，结构常数$C_{\mu\nu}^\lambda$与$K$-理论Gromov–Witten不变量一致。
• Gorbounov–Korff在$\beta = -1$时的Frobenius代数同构于$\mathrm{Gr}(N,M)$的小量子$K$-环，且该同构通过3d场论实现。
• 在$S^1 \times \Sigma_g$上的3d理论的相关函数重现了2d TQFT的亏格$g$相关函数，将Bethe/规范对应关系推广至高亏格情形。