[论文解读] A fixed point theorem for contractions in modular metric spaces

V Chistyakov Vyacheslav|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2011

Fixed Point Theorems AnalysisMathematics参考文献 24被引用 21

一句话总结

本文建立了在模度量空间中压缩映射的不动点定理，该空间是由Chistyakov提出的度量空间的推广。与基于距离压缩的经典不动点定理不同，本研究聚焦于压缩广义平均速度，收敛性以较弱的模意义而非度量意义实现。

ABSTRACT

The notion of a (metric) modular on an arbitrary set and the corresponding modular space, more general than a metric space, were introduced and studied recently by the author [V.V. Chistyakov, Metric modulars and their application, Dokl. Math. 73(1) (2006) 32–35, and Modular metric spaces, I: Basic concepts, Nonlinear Anal. 72(1) (2010) 1–14]. In this paper we establish a fixed point theorem for contractive maps in modular spaces. It is related to contracting rather “generalized average velocities” than metric distances, and the successive approximations of fixed points converge to the fixed points in a weaker sense as compared to the metric convergence.

研究动机与目标

• 将不动点理论推广至模度量空间，该空间是标准度量空间的推广。
• 解决在模度量背景下压缩映射缺乏不动点结果的问题。
• 以模泛函而非传统度量距离定义收敛性。
• 建立在模拓扑下， successive approximation 序列收敛至不动点的条件。
• 将经典的压缩映射原理推广至模设置，其中收敛性弱于度量空间中的收敛性。

提出的方法

• 利用集合上的模度量概念，通过一族凸泛函定义。
• 提出一种基于模度量而非标准度量的压缩映射概念。
• 应用“广义平均速度”的概念，以建模模空间中的压缩行为。
• 在由模泛函定义的模拓扑中，建立迭代序列的收敛性。
• 运用模空间理论的技术，证明不动点的存在性与收敛性。
• 表明收敛性为模意义，即差的模趋于零，但不必然意味着度量趋于零。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在模度量空间中为压缩映射建立不动点定理？
• RQ2 与经典度量空间相比，模空间中迭代序列的收敛性行为如何？
• RQ3 广义平均速度在模设置中定义压缩时起什么作用？
• RQ4 当收敛性由模泛函定义时，不动点以何种意义出现？
• RQ5 所提出的框架如何推广经典的Banach压缩映射原理？

主要发现

• 在模度量空间中为压缩映射建立了不动点定理，将经典结果推广至更广泛的框架。
• successive approximation 序列的收敛性发生在模拓扑中，而非更强的度量意义下。
• 压缩条件通过模泛函定义，反映了广义平均速度的行为。
• 在所提出的模压缩条件下，不动点的存在性得到保证。
• 该结果将Banach压缩映射原理推广至模空间，其中收敛性弱于度量空间中的收敛性。
• 该框架允许在标准度量工具因缺乏一致凸性或完备性而不足的场合中应用。