[论文解读] A-infinity functors and homotopy theory of dg-categories

Giovanni Faonte|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 5

一句话总结

本文证明了Töen通过右拟表示可表双模定义的dg-范畴的导出丰富结构，与A∞-函子的dg-范畴同构，从而证实了Kontsevich的猜想。此外，本文利用A∞-神经构造法构建了dg-范畴与A∞-范畴的(∞,2)-范畴，并表明该dg-范畴(∞,2)-范畴的(∞,1)-范畴截断模型了Tabuada的模型结构下的Dwyer-Kan局部化。

ABSTRACT

In this paper we prove that Toen's derived enrichment of the model category of dg-categories defined by Tabuada, is computed by the dg-category of A-infinity functors. This approach was suggested by Kontsevich. We further put this construction into the framework of (infinity,2)-categories. Namely, we enhance the categories of dg and A-infinity categories, to (infinity,2)-categories. We prove that the (infinity,1)-truncation of to the (infinity,2)-category of dg-categories is a model for the simplicial localization at the model structure of Tabuada. As an application, we prove that the homotopy groups of the mapping space of endomorphisms at the identity functor in the (infinity,2)-category of A-infinity categories compute the Hochschild cohomology.

研究动机与目标

• 证明Töen对dg-范畴的导出丰富结构与A∞-函子的dg-范畴同构，从而证实Kontsevich的猜想。
• 利用A∞-神经构造法定义dg-范畴与A∞-范畴的(∞,2)-范畴。
• 证明对dg-范畴(∞,2)-范畴进行(∞,1)-范畴截断后，其模型为Tabuada的dg-范畴模型结构下的Dwyer-Kan局部化。
• 建立A∞-范畴(∞,2)-范畴中自同态映射空间的同伦群计算Hochschild上同调。
• 通过Quillen等价与bar构造，建立dg-双模与A∞-双模之间的同伦桥梁，提供两类模型间的同伦联系。

提出的方法

• 使用[4]中的A∞-神经构造法，将dgCat与A∞Cat提升为(∞,2)-范畴。
• 将(∞,2)-范畴dgCat_{(∞,2)}定义为A∞Cat_{(∞,2)}中dg-范畴的全子范畴，其态射空间由A∞-神经构造N_{A∞}(A∞(C,D))给出。
• 对dg-范畴应用bar构造，得到dg-余范畴，从而可使用上同调工具。
• 通过一个可约的扭曲链复，建立dg-双模与A∞-双模之间的Quillen等价，诱导其局部化范畴的同构。
• 通过bar构造与上同调解析，构造A∞-函子的dg-范畴与导出映射范畴之间的自然同构。
• 使用Tabuada模型结构的Dwyer-Kan局部化，并通过映射空间的弱同伦等价，将其与(∞,2)-范畴的(∞,1)-截断进行比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 Töen对dg-范畴的导出丰富结构是否与A∞-函子的dg-范畴同构？
• RQ2 能否通过A∞-函子范畴的A∞-神经构造，构建A∞-范畴的(∞,2)-范畴？
• RQ3 对dg-范畴(∞,2)-范畴进行(∞,1)-截断后得到的(∞,1)-范畴是否模型化了Tabuada模型结构下的Dwyer-Kan局部化？
• RQ4 A∞-范畴(∞,2)-范畴中自同态空间的同伦群是否计算Hochschild上同调？
• RQ5 是否存在一个保持bar构造与导出丰富的dg-双模与A∞-双模之间的Quillen等价？

主要发现

• Töen定义的dg-范畴导出丰富结构，自然同构于A∞-函子的dg-范畴：在Ho(dgCat)中有RHom(D,E) ≅ A∞(D,E)。
• (∞,2)-范畴dgCat_{(∞,2)}通过A∞-函子范畴A∞(C,D)的A∞-神经构造构建，其态射空间为N_{A∞}(A∞(C,D))。
• (∞,1)-范畴dgCat_{(∞,1)} = dgCat_{(∞,2)}^∘ 是Tabuada模型结构下Dwyer-Kan局部化的模型，其映射空间之间存在弱同伦等价。
• A∞Cat_{(∞,2)}中恒等函子处的自同态映射空间的同伦群计算Hochschild上同调。
• 存在dg-双模与A∞-双模模型范畴之间的Quillen等价，其通过bar构造与一个可约扭曲链复实现。
• bar构造诱导出dg-范畴D,E之间的dg-范畴同构B(D,E): C∞(D,E) ≅ CoMod(B+(D), B+(E))，为双模模型之间提供了同伦桥梁。