[论文解读] A large time-step and well-balanced Lagrange-Projection type scheme for the shallow-water equations

Christophe Chalons, Pierre Kestener+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2016

Computational Fluid Dynamics and AerodynamicsEngineering参考文献 31被引用 22

一句话总结

本文提出了一种用于浅水方程的大时间步长、良好平衡的拉格朗日-投影格式，采用隐式-显式（IMEX）方法处理声波（隐式）和物质波（显式）。该方法消除了与声速相关的CFL限制，实现了稳定的大时间步长计算，同时保持了静水状态的精确平衡，并维持了熵稳定性和水深的正性。

ABSTRACT

This work focuses on the numerical approximation of the Shallow Water Equations (SWE) using a Lagrange-Projection type approach. We propose to extend to this context recent implicit-explicit schemes developed in the framework of compressibleflows, with or without stiff source terms. These methods enable the use of time steps that are no longer constrained by the sound velocity thanks to an implicit treatment of the acoustic waves, and maintain accuracy in the subsonic regime thanks to an explicit treatment of the material waves. In the present setting, a particular attention will be also given to the discretization of the non-conservative terms in SWE and more specifically to the well-known well-balanced property. We prove that the proposed numerical strategy enjoys important non linear stability properties and we illustrate its behaviour past several relevant test cases.

研究动机与目标

• 开发一种用于浅水方程的数值格式，以克服传统Godunov型格式中基于声波的严格CFL条件限制。
• 保持静水状态下的良好平衡特性，确保静止水解的精确保持。
• 在亚音速和低弗劳德数流动中，维持水深的正性并满足离散熵不等式，以增强鲁棒性。
• 将近期针对可压缩流体的IMEX拉格朗日-投影策略扩展至浅水系统，实现在不牺牲精度或稳定性的前提下采用大时间步长。
• 在包括河流流、跨临界流和非唯一黎曼解在内的基准测试案例上验证该格式。

提出的方法

• 该格式采用拉格朗日-投影分解，将系统拆分为声波和物质波分量。
• 声波采用半隐式时间离散化进行隐式处理，使时间步长与声速无关。
• 物质波采用显式处理，保持在慢速、亚音速流动区域中的精度。
• 采用良好平衡的重构方法，即使在非均匀网格上也能精确捕捉静水状态。
• 在离散格式中强制实施保守的熵公式，以确保熵稳定性。
• 该格式在有限体积框架中实现，数值通量由拉格朗日-投影分解导出。

实验结果

研究问题

• RQ1 IMEX拉格朗日-投影格式是否能在浅水模拟中实现大时间步长，同时不破坏稳定性或精度？
• RQ2 所提出的格式在存在地形和非均匀网格的情况下，是否仍能保持静水状态的平衡特性（即良好平衡性）？
• RQ3 与其它方法相比，该格式在捕捉黎曼问题的非唯一熵解方面表现如何？
• RQ4 声波的隐式处理对CFL条件和计算效率有何影响？
• RQ5 在复杂流动状态下，该格式是否能保持水深的正性并满足离散熵不等式？

主要发现

• 在河流流区域测试中，该格式实现了高达显式CFL极限十倍的时间步长，且保持稳定，验证了其大时间步长能力。
• 拉格朗日-投影格式的解与采用静水重构的HRHLL格式非常接近，且在精度上优于ACU格式。
• 在存在激波的跨临界区域，该格式准确捕捉了激波位置和波结构，与成熟格式的结果一致。
• 对于非唯一黎曼问题，该格式收敛至与静水重构方法相同的解，而HLLACU则产生不同且精度较低的解。
• 声波的隐式处理消除了基于声速的CFL限制，实现了大时间步长，同时保持了良好平衡性和正性。
• 在所有测试案例中，包括强地形和近静止条件，该格式均保持了熵稳定性和水深正性。