[论文解读] A numerical scheme for impact problems

Lætitia Paoli, Michelle Schatzman|ArXiv.org|Oct 4, 1999

Dynamics and Control of Mechanical SystemsEngineering参考文献 14被引用 20

一句话总结

该论文提出了一种新颖的数值格式，用于求解具有 n 个自由度的机械碰撞问题，其中运动被约束在 C³-正则闭集 K 内。该格式通过使用恢复系数 e ∈ [0,1] 的局部有限差分方法，避免了显式碰撞时间检测，并证明了解的收敛性，基于先验估计建立了局部与全局解的存在性。

ABSTRACT

We consider a mechanical system with impact and n degrees of freedom, written in generalized coordinates. The system is not necessarily Lagrangian. The representative point of the system must remain inside a set of constraints K; the boundary of K is three times differentiable. At impact, the tangential component of the impulsion is conserved, while its normal coordinate is reflected and multiplied by a given coefficient of restitution e between 0 and 1. The orthognality is taken with respect to the natural metric in the space of impulsions. We define a numerical scheme which enables us to approximate the solutions of the Cauchy problem: this is an ad hoc scheme which does not require a systematic search for the times of impact. We prove the convergence of this numerical scheme to a solution, which yields also an existence result. Without any a priori estimates, the convergence and the existence are local; with some a priori estimates, the convergence and the existence are proved on intervals depending exclusively on these estimates. This scheme has been implemented with a trivial and a non trivial mass matrix.

研究动机与目标

• 开发一种用于具有碰撞的机械系统的数值方法，避免显式检测碰撞时间。
• 处理非拉格朗日系统，其中广义耗散力与由 C³-正则集 K 定义的约束共存。
• 证明数值格式收敛于连续时间碰撞问题的解。
• 利用先验估计与格式收敛性，严格证明解的局部与全局存在性。
• 严谨应对有限差分格式中边界定位的挑战，特别是由边界线性化引入的二次误差。

提出的方法

• 该格式使用广义坐标与质量矩阵 M(u) 建模动力学，冲量反作用 μ 在边界 ∂K 上表示为 λdϕ(u)。
• 在时间上采用有限差分半隐式格式，并在边界 ∂K 附近进行局部重构，以处理非光滑的碰撞动力学。
• 通过基于余切度量的正交性条件，强制保持切向冲量守恒，并通过恢复系数 e 实现法向冲量的反射。
• 关键创新在于采用局部化格式，在 ∂K 附近近似动力学行为，同时控制由边界线性化引入的二次误差。
• 收敛性证明依赖于先验估计与紧致性论证，表明离散解序列收敛于连续解。
• 通过离散速度范数 |V^m|_{U^m}^2 的估计，证明该格式在速度范数本质上确界的含义下收敛。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种无需显式检测碰撞时间的数值格式来求解碰撞问题？
• RQ2 当边界为曲面时，如何利用有限差分方法近似边界 ∂K 处的非光滑动力学？
• RQ3 在何种条件下可确保数值格式收敛于碰撞问题的真实解？
• RQ4 动量与位置的先验估计如何影响解的全局存在性？
• RQ5 恢复系数 e 在数值格式的稳定性和收敛性中起到何种作用？

主要发现

• 该数值格式收敛于连续碰撞问题的解，证明了在容许集内初始条件下解的存在性。
• 在无先验估计条件下，局部收敛性与存在性得以建立；当存在先验估计时，全局收敛性与存在性亦可证明。
• 该格式被证明收敛，即离散速度范数 |V^m|_{U^m}^2 收敛于连续速度范数的本质上确界。
• 若该格式在时间 τ(R) 之后不收敛，则可导出矛盾，其中 τ(R) 由初始动量与 K 的几何结构决定。
• 证明依赖于在 ∂K 附近的局部化技术，其中边界线性化引入的二次误差通过估计得到精确控制。
• 通过将局部收敛性与动量和位置的先验界相结合，实现了全局存在性结果，确保该格式可被扩展至仅依赖于这些界的时间 τ(R)。