[论文解读] A robust multi-dimensional sparse Fourier transform in the continuous setting.

Yaonan Jin, Daogao Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2020

Sparse and Compressive Sensing Techniques参考文献 58被引用 6

一句话总结

本文提出了一种用于多维连续稀疏傅里叶变换的随机化、非自适应算法，实现了次线性采样与时间复杂度。通过引入专为高维连续信号设计的新型滤波器设计、置换哈希方案和频率定位技术，该算法在采样时长边界方面优于以往的一维连续方法。

ABSTRACT

Sparse Fourier transform (Sparse FT) is the problem of learning an unknown signal, whose frequency spectrum is dominated by a small amount of $k$ individual frequencies, through fast algorithms that use as few samples as possible in the time domain. The last two decades have seen an extensive study on such problems, either in the one-/multi-dimensional discrete setting [Hassanieh, Indyk, Katabi, and Price STOC'12; Kapralov STOC'16] or in the one-dimensional continuous setting [Price and Song FOCS'15]. Despite this rich literature, the most general multi-dimensional continuous case remains mysterious. This paper initiates the study on the Sparse FT problem in the multi-dimensional continuous setting. Our main result is a randomized non-adaptive algorithm that uses sublinear samples and runs in sublinear time. In particular, the sample duration bound required by our algorithm gives a non-trivial improvement over [Price and Song FOCS'15], which studies the same problem in the one-dimensional continuous setting. The dimensionality in the continuous setting, different from both the discrete cases and the one-dimensional continuous case, turns out to incur many new challenges. To overcome these issues, we develop a number of new techniques for constructing the filter functions, designing the permutation-then-hashing schemes, sampling the Fourier measurements, and locating the frequencies. We believe these techniques can find their applications in the future studies on the Sparse FT problem.

研究动机与目标

• 解决多维连续稀疏傅里叶变换问题中缺乏高效算法的问题。
• 开发一种非自适应、次线性时间的算法，使用最少的时间域采样。
• 克服维度增加在连续设置下引入的新挑战，这些挑战在离散或一维情况下并不存在。
• 在现有的一维连续稀疏傅里叶变换方法的采样时长边界基础上实现改进。
• 建立适用于未来连续多维稀疏傅里叶变换研究的基础技术。

提出的方法

• 设计新型滤波器函数，以在多维连续信号中分离主导频率。
• 开发一种置换后哈希方案，以高效映射并检测高能量频率分量。
• 使用结构化、随机化的采样策略进行傅里叶测量采样，以减少时间域采样数量。
• 采用频率定位过程，从噪声或稀疏测量中准确识别出k个主导频率。
• 将这些组件整合为一种非自适应算法，实现次线性时间与采样复杂度。
• 利用傅里叶能量集中与谱稀疏性的数学分析，确保算法的鲁棒性与正确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为多维连续稀疏傅里叶变换设计一种次线性时间、非自适应的算法？
• RQ2 在连续设置下，维度的增加如何引入在离散或一维情况下不存在的独特挑战？
• RQ3 哪些采样与滤波策略能够实现相较于以往一维连续方法的更优采样时长边界？
• RQ4 能否在仅使用最少时间域采样的前提下，实现对高维连续信号的鲁棒频率定位？
• RQ5 处理多维连续信号的谱结构需要哪些新型算法技术？

主要发现

• 所提出的算法实现了多维连续稀疏傅里叶变换的次线性时间与采样复杂度。
• 与Price和Song（FOCS'15）提出的一维连续方法相比，该算法在采样时长边界方面实现了非平凡的改进。
• 该算法是非自适应的，即所有采样决策均预先确定，无需反馈。
• 引入了滤波器构造与置换哈希方面的新型技术，以应对多维连续谱的复杂性增加。
• 该方法可在仅使用最少时间域采样的前提下，以高概率准确恢复出k个主导频率。
• 该框架为未来连续多维稀疏傅里叶分析研究奠定了基础。