[论文解读] Calabi-Yau Frobenius algebras

Ching-Hwa Eu, Travis Schedler|ArXiv.org|Oct 18, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 31被引用 4

一句话总结

本文在任意交换基环上引入了卡拉比-丘弗罗贝尼乌斯代数，并定义了一种类似于 Tate 上同调的稳定 Hochschild 上同调理论。证明了周期性卡拉比-丘弗罗贝尼乌斯代数在其稳定 Hochschild 上同调上具有 Batalin-Vilkovisky 和弗罗贝尼乌斯代数结构，为预投射代数与群代数的 Hochschild 上同调计算提供了统一框架，特别在 ADE quiver 和周期性群的情形下给出了明确的对偶性和 BV 结构。

ABSTRACT

We define Calabi-Yau and periodic Frobenius algebras over arbitrary base commutative rings. We define a Hochschild analogue of Tate cohomology, and show that the "stable Hochschild cohomology" of periodic CY Frobenius algebras has a Batalin-Vilkovisky and Frobenius algebra structure. Such algebras include (centrally extended) preprojective algebras of (generalized) Dynkin quivers, and group algebras of classical periodic groups. We use this theory to compute (for the first time) the Hochschild cohomology of many algebras related to quivers, and to simplify the description of known results. Furthermore, we compute the maps on cohomology from extended Dynkin preprojective algebras to the Dynkin ones, which relates our CY property (for Frobenius algebras) to that of Ginzburg (for algebras of finite Hochschild dimension).

研究动机与目标

• 在任意交换基环上定义卡拉比-丘弗罗贝尼乌斯代数，将卡拉比-丘性质从域推广至更一般情形。
• 引入一种稳定 Hochschild 上同调理论，作为 Tate 上同调的 Hochschild 类比，将上同调扩展至所有整数度数。
• 确立周期性卡拉比-丘弗罗贝尼乌斯代数在其稳定 Hochschild 上同调上具有 Batalin-Vilkovisky 与弗罗贝尼乌斯代数结构。
• 计算 ADE quiver 的预投射代数及任意基环上的中心扩张预投射代数的 Hochschild 上同调。
• 通过扩展代数与 Dynkin 预投射代数之间的映射，将弗罗贝尼乌斯代数的卡拉比-丘性质与 Ginzburg 的有限 Hochschild 维数代数的卡拉比-丘性质联系起来。

提出的方法

• 在稳定 A-双模范畴中，将稳定 Hochschild 上同调定义为 $\underline{HH}^\bullet(A) = \underline{\operatorname{Hom}}(\Omega^\bullet A, A)$。
• 利用稳定模范畴与相对 Serre 对偶性，为 $CY(m)$-弗罗贝尼乌斯代数定义对偶同构 $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{m-\bullet}(A)$。
• 证明稳定 Hochschild 上同调是分次交换环，且稳定 Hochschild 同调是通过收缩作用在其上成为分次模。
• 证明对于周期性弗罗贝尼乌斯代数，$(HH^\bullet, HH_\bullet)$ 上的微分几何结构可自然延拓至 $\mathbb{Z}$-分次稳定情形。
• 利用稳定范畴中同构 $A^\vee \simeq \Omega^{m+1}A$ 定义卡拉比-丘性质，并由此导出对偶性与 BV 结构。
• 将该理论应用于计算 ADE quiver 的预投射代数与周期性群代数的 $\underline{HH}^\bullet$，证明 $\underline{HH}^\bullet \cong \underline{HH}^{2m+1-\bullet*}$，其中 ADE 情形下 $m=2$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弗罗贝尼乌斯代数的背景下，卡拉比-丘性质如何从域推广至任意交换基环？
• RQ2 在 $\mathbb{Z}$ 或一般基环上，ADE quiver 的预投射代数的 Hochschild 上同调具有何种结构？
• RQ3 周期性弗罗贝尼乌斯代数的稳定 Hochschild 上同调如何与 Batalin-Vilkovisky 及弗罗贝尼乌斯代数结构相关联？
• RQ4 稳定模范畴在定义 Hochschild 上同调的 Tate 上同调类比中起何作用？
• RQ5 扩展 Dynkin 与 Dynkin 预投射代数之间的映射如何将弗罗贝尼乌斯代数的卡拉比-丘性质与 Ginzburg 的卡拉比-丘性质联系起来？

主要发现

• 当 $A$ 为周期性卡拉比-丘弗罗贝尼乌斯代数时，稳定 Hochschild 上同调 $\underline{HH}^\bullet(A)$ 是一个分次交换环，且构成弗罗贝尼乌斯代数。
• 对于 $A$ 为 $CY(m)$-弗罗贝尼乌斯代数的情形，有 $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{m-\bullet}(A)$，且作为 $\underline{HH}^0(A)$-模，有 $\underline{HH}_\bullet(A) \cong \underline{HH}^{2m+1-\bullet*}(A)$。
• ADE quiver 的中心扩张预投射代数的稳定 Hochschild 上同调具有 Batalin-Vilkovisky 与弗罗贝尼乌斯代数结构，且 $m=2$。
• 该理论首次计算出 $\mathbb{Z}$ 及任意基环上预投射代数的 Hochschild 上同调。
• 从扩展 Dynkin 到 Dynkin 预投射代数的映射在上同调上诱导出一个同态，将弗罗贝尼乌斯代数的卡拉比-丘性质与 Ginzburg 的卡拉比-丘性质联系起来。
• 有限群的周期性群代数的稳定 Hochschild 上同调具有 BV 结构，将已知的域上结果推广至任意基环。