[论文解读] Cancellation theorem for Grothendieck-Witt-correspondences and Witt-correspondences

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文证明了在特征 ≠ 2 的无限完美域上，Grothendieck-Witt-对应与Witt-对应之间的消去定理，确立了从有效GW-动机到完整GW-动机的 ${\mathbb{G}_m}$-稳定化函子是全忠实的。这表明动机Ext-群与具有传递性的同伦不变sheaf的Nisnevich上同调之间存在自然同构。

ABSTRACT

The cancellation theorem for Grothendieck-Witt-correspondences and Witt-correspondences between smooth varieties over an infinite prefect field $k$, $char k eq 2$, is proved, the isomorphism $$Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}}(A^\bullet,B^\bullet) \simeq Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}}(A^\bullet(1),B^\bullet(1)),$$ for $A^\bullet,B^\bullet\in \mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k)$ in the category of effective Grothendieck-Witt-motives constructed in \cite{AD_DMGWeff} is obtained (and similarly for Witt-motives). This implies that the canonical functor $Σ_{\mathbb G_m^{\wedge 1}}^\infty\colon \mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k) o \mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$ is fully faithful, where $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$ is the category of non-effective GW-motives (defined by stabilization of $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}_\mathrm{eff}(k)$ along $\mathbb G_m^{\wedge 1}$) and yields the main property of motives of smooth varieties in the category $\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)$: $$ Hom_{\mathbf{DM}^\mathrm{GW}(k)}(M^{GW}(X), Σ_{\mathbb G_m^{\wedge 1}}^\infty\mathcal F[i]) \simeq H^i_{Nis}(X,\mathcal F) ,$$ for any smooth variety $X$ and homotopy invariant sheave with GW-transfers $\mathcal F$ (and similarly for $\mathbf{DM}^\mathrm{W}(k)$).

研究动机与目标

• 在特征 ≠ 2 的域上，建立有效Grothendieck-Witt-动机与Witt-动机范畴中的消去定理。
• 证明 ${\mathbb{G}_m}$-稳定化函子 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}$ 是全忠实的，确保GW-动机在无限悬垂下的范畴行为良好。
• 证明 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 中的动机Ext-群计算具有GW-传递的同伦不变sheaf的Nisnevich上同调。
• 将Voevodsky-Suslin方法扩展至GW-与Witt-动机，为光滑概形的动机提供显式纤维化替换。
• 支持猜想 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)_{\mathbb{Q}} \simeq \mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$，在有理化后将GW-动机与稳定动机同伦范畴联系起来。

提出的方法

• 将范畴 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k)$ 构造为光滑概形上GW-对应的Nisnevich sheaf的 $\mathbb{A}^1$-局部化。
• 将GW-对应定义为 $k[X] \times k[Y]$ 上有限生成投射模的Grothendieck-Witt群，且带有满足对偶同构的二次型。
• 应用Voevodsky-Suslin方法：sheafification、$\mathbb{A}^1$-局部化与 $\mathbb{P}^1$-局部化，以获得范畴 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$。
• 利用局部化函子的普遍性质建立伴随关系：$L_{\mathrm{nis}} \dashv F_{\mathrm{GW}}$，$L_{\mathbb{A}^1} \dashv R_{\mathbb{A}^1}$，以及 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty} \dashv \Omega_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty}$。
• 应用[18]中的技术，将构造扩展至非交换动机，通过带有对偶的dg-范畴，定义 $\widetilde{NcS}(S)$ 与 $DM^{\mathcal{GW}}_{nc}(k)$。
• 提出一个猜想：$DM^{\mathcal{GW}}_{nc}(k)$ 与一个带有对偶函子的dg-范畴范畴上的预层局部化的范畴之间存在等价，该等价基于伴随数据。

实验结果

研究问题

• RQ1 自然函子 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}: \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k) \to \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 是否全忠实？
• RQ2 光滑概形在 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 中的动机上同调是否计算具有GW-传递的同伦不变sheaf的Nisnevich上同调？
• RQ3 GW-动机的范畴能否从GW-对应出发，通过Voevodsky-Suslin方法构造？
• RQ4 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)_{\mathbb{Q}}$ 是否与有理化后的稳定动机同伦范畴 $\mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$ 等价？
• RQ5 是否能仅通过dg-范畴之间带有对偶的态射来重构非交换动机，而无需修改对象？

主要发现

• 自然函子 $\Sigma_{{\mathbb{G}_m}^{\wedge 1}}^{\infty}: \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}_{\mathrm{eff}}(k) \to \mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 是全忠实的，证明了GW-对应的消去定理。
• 对任意光滑概形 $X$ 与具有GW-传递的同伦不变sheaf $\mathcal{F}$，存在自然同构 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}}(M^{GW}(X), \Sigma_{{\mathbb{G}_m}}^{\infty}\mathcal{F}[i]) \simeq H^{i}_{\mathrm{Nis}}(X, \mathcal{F})$。
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 范畴在 $\mathcal{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$ 中提供了纤维化替换函子，将GW-动机实现为有理化后的稳定动机同伦理论。
• 通过GW-对应构造 $\mathbf{DM}^{\mathrm{GW}}(k)$ 产生了一种广义动机上同调理论，其与Câlmâs与Fasel的理论等价。
• $\mathbf{DM}^{\mathrm{W}}(k)$ 范畴预计与Ananyevskiy、Levine与Panin构造的Witt-动机范畴 $\mathbf{DM}_W(k)$ 等价。
• 提出一个猜想：$DM^{\mathcal{GW}}_{nc}(k)$ 与一个带有对偶函子的dg-范畴范畴上的预层局部化范畴之间存在等价，该等价基于伴随数据。