[论文解读] Effective Grothendieck-Witt motives of smooth varieties

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 4

一句话总结

本文使用Voevodsky-Suslin的方法，为特征≠2的无限完美域上的光滑概形构造了有效Grothendieck-Witt动机的范畴。证明了光滑概形的GW-动机计算了具有GW-转移结构的同伦不变层的Nisnevich上同调，通过 fibrant replacement 建立了动机同伦理论与GW-理论之间的基本联系。

ABSTRACT

The category of effective Grothendieck-Witt-motives $\mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)$ (and Witt-motives $\mathbf{DM}^W_{\mathrm{eff},-}(k)$) by Voevodsky-Suslin method starting with some category of GW-correspondences (and Witt-correspondences) over a perfect field $k$, $char\,k eq 2$, is defined. The functor $M^{GW}_{eff}\colon Sm_k o \mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)$ of Grothendieck-Witt-motives of smooth varieties is computed and it is proved that for any smooth scheme $X$ and homotopy invariant sheave with GW-transfers $F$ $$ Hom_{\mathbf{DM}^{GW}_{\mathrm{eff},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i]) \simeq H^i_{nis}(X, F) $$ naturally in $X$ and $F$.

研究动机与目标

• 为特征≠2的域 $k$ 上的光滑概形定义有效Grothendieck-Witt动机的范畴 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$。
• 将Voevodsky-Suslin方法扩展至GW-对应，实现具有二次型结构的动机的同伦理论构造。
• 在GW-动机范畴中，建立态射集与具有GW-转移的同伦不变层的Nisnevich上同调之间的典范同构。
• 为Witt-动机范畴提供一个fibrant replacement模型，使其在有理数上与稳定动机同伦范畴对齐。

提出的方法

• 将范畴 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 构造为 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ 的全子范畴，其对象为具有同伦不变层上同调的复形。
• 将光滑概形 $X$ 的有效GW-动机 $M^{GW}_{eff}(X)$ 定义为复形 $\mathcal{H}om_{\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))}(\Delta^{\bullet}, {GWCor}_{nis}(-,X))$，其中 $\Delta^{\bullet}$ 为标准余单纯概形。
• 对预层 $GWCor(-,X)$ 应用Nisnevich层化，得到 $GWCor_{nis}(-,X)$，以确保与转移结构的相容性。
• 利用无限完美域上 $GWCor_k$ 的严格同伦不变性，确保在导出范畴中同伦不变性公理由成立。
• 通过 $\mathbb{A}^1$-收缩与 $\mathbb{A}^1$-不变性建立 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ 的半正交分解，从而实现对动机复形范畴的局部化。
• 应用函子 $C^* = \mathcal{H}om(\Delta^\bullet, -)$ 作为动机复形包含函子的左伴随，从而得到所需的动机范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Voevodsky-Suslin方法适配于构造特征≠2的域上光滑概形的有效Grothendieck-Witt动机范畴？
• RQ2 光滑概形的GW-动机与具有GW-转移的同伦不变层的Nisnevich上同调之间的确切关系为何？
• RQ3 有效GW-动机范畴能否被描述为具有GW-转移的Nisnevich层的导出范畴的全子范畴？
• RQ4 构造 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 是否能为Witt-动机范畴提供一个fibrant replacement模型？
• RQ5 是否存在一个典范同构 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i]) \simeq H^i_{nis}(X, F)$，对所有同伦不变层 $F$ 与GW-转移结构成立？

主要发现

• 范畴 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 同构于 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor))$ 中由具有同伦不变层上同调的复形生成的全子范畴。
• 光滑概形 $X$ 的有效GW-动机 $M^{GW}_{eff}(X)$ 自然同构于复形 $[\cdots \to {GWCor}_{nis}(-\times\Delta^i, X) \to \cdots \to {GWCor}_{nis}(-, X)]$，其中 $\Delta^i$ 为仿射单纯形。
• 对所有 $i \geq 0$，$X \in Sm_k$，以及具有GW-转移的同伦不变层 $F$，存在自然同构 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)}(M^{GW}_{eff}(X), F[i]) \simeq H^i_{nis}(X, F)$。
• 该构造满足Nisnevich Mayer-Vietoris公理与 $\mathbb{A}^1$-同伦不变性公理，确保该范畴在动机上同调中表现良好。
• $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 允许半正交分解 $\mathbf{D}^{-}(Sh_{nis}(GWCor)) = \langle \mathcal{B}, \mathcal{A} \rangle$，其中 $\mathcal{A}$ 为动机复形范畴。
• 该结果为Witt-动机范畴提供了fibrant replacement模型，且所构造的范畴 $\mathbf{DM}^{{\mathrm{GW}}}_{{\mathrm{eff}},-}(k)$ 在有理数上与 $\mathbf{SH}(k)_{\mathbb{Q}}$ 通过稳定动机同伦范畴实现等价。