[论文解读] Categorical Structures on Bundle Gerbes and Higher Geometric Prequantisation

Severin Bunk|arXiv (Cornell University)|Sep 18, 2017

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 70被引用 7

一句话总结

本文为丛丛主丛构造了一个截面的2-希尔伯特空间，为高阶几何量子化提供了范畴化预量子结构。通过在丛丛主丛的态射范畴上引入加法、对偶和内部同态结构，建立了有限维希尔伯特空间上的环模范畴，证明了通过双变量伴随关系，截面范畴构成一个2-希尔伯特空间，且可通过自然的维数约化还原为带有联络的普通线丛。

ABSTRACT

We present a construction of a 2-Hilbert space of sections of a bundle gerbe, a suitable candidate for a prequantum 2-Hilbert space in higher geometric quantisation. We introduce a direct sum on the morphism categories in the 2-category of bundle gerbes and show that these categories are cartesian monoidal and abelian. Endomorphisms of the trivial bundle gerbe, or higher functions, carry the structure of a rig-category, which acts on generic morphism categories of bundle gerbes. We continue by presenting a categorification of the hermitean metric on a hermitean line bundle. This is achieved by introducing a functorial dual that extends the dual of vector bundles to morphisms of bundle gerbes, and constructing a two-variable adjunction for the aforementioned rig-module category structure on morphism categories. Its right internal hom is the module action, composed by taking the dual of higher functions, while the left internal hom is interpreted as a bundle gerbe metric. Sections of bundle gerbes are defined as morphisms from the trivial bundle gerbe to a given bundle gerbe. The resulting categories of sections carry a rig-module structure over the category of finite-dimensional Hilbert spaces. A suitable definition of 2-Hilbert spaces is given, modifying previous definitions by the use of two-variable adjunctions. We prove that the category of sections of a bundle gerbe fits into this framework, thus obtaining a 2-Hilbert space of sections. In particular, this can be constructed for prequantum bundle gerbes in problems of higher geometric quantisation. We define a dimensional reduction functor and show that the categorical structures introduced on bundle gerbes naturally reduce to their counterparts on hermitean line bundles with connections. In several places in this thesis, we provide examples, making 2-Hilbert spaces of sections and dimensional reduction very explicit.

研究动机与目标

• 为高阶几何量子化开发一个基于丛丛主丛的范畴化预量子框架。
• 在丛丛主丛的截面范畴上定义2-希尔伯特空间结构。
• 为丛丛主丛的态射范畴赋予加法、张量和对偶结构。
• 建立一个维数约化函子，以在普通线丛上恢复标准几何量子化。
• 提供具体例子和构造，以具体实现该抽象框架。

提出的方法

• 在丛丛主丛的态射范畴上引入直和，表明其为笛卡尔张量范畴且为阿贝尔范畴。
• 为丛丛主丛的态射构造一个函子性对偶，扩展自向量丛的对偶性。
• 为环模结构定义双变量伴随关系，其中右内部同态作为模作用，左内部同态作为丛丛主丛度量。
• 为截面范畴赋予有限维希尔伯特空间范畴上的环模结构。
• 采用基于双变量伴随关系的2-希尔伯特空间的改进定义，以确保与模结构和加法结构的兼容性。
• 应用一个维数约化函子，将丛丛主丛结构映射为带有联络的赫米特线丛，同时保持范畴和几何特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高阶几何量子化的背景下，如何为丛丛主丛构造一个截面的2-希尔伯特空间？
• RQ2 为支持2-希尔伯特空间结构，必须在丛丛主丛的态射范畴上施加哪些范畴结构——加法、对偶和内部同态？
• RQ3 所提出的2-希尔伯特空间框架如何通过维数约化与标准几何量子化相关联？
• RQ4 高阶函数的环范畴（平凡丛丛主丛的自同态）在组织截面模结构中扮演什么角色？
• RQ5 所提出的框架能否在具体例子中具体实现，例如在R³上或可分解的丛丛主丛上？

主要发现

• 丛丛主丛的截面范畴自然地携带一个环模结构，其作用于有限维希尔伯特空间范畴的标准直和与张量积上。
• 丛丛主丛的态射范畴被证明为笛卡尔张量范畴且为阿贝尔范畴，从而支持加法结构的构造。
• 平凡丛丛主丛的自同态构成一个环范畴，而一般态射范畴是该环范畴上的模范畴。
• 构造了一个双变量伴随关系，其中右内部同态作为模作用，左内部同态定义了丛丛主丛度量。
• 在所提出的定义下，截面范畴满足2-希尔伯特空间的公理，该定义通过引入双变量伴随关系，推广了先前的表述。
• 维数约化函子将丛丛主丛的2-范畴映射到带有联络的赫米特线丛范畴，从而在低维中恢复标准几何结构。