[论文解读] Closed String TCFT for Hermitian Calabi-Yau Elliptic Spaces

Kevin J. Costello, Thomas Tradler+1 more|ArXiv.org|Jul 18, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文构建了在赫尔米特型卡拉比-丘椭圆空间的霍赫希尔德复形上，对黎曼曲面模空间链群的显式几何作用，提供了在所有亏格下对弦拓扑与B模型操作的链级精化。关键贡献是通过一个与塞加尔的范畴弱等价的元图范畴的 lax 代数结构，实现了在霍赫希尔德同调上定义的同调场论操作，这些操作扩展了已知的弦拓扑操作，并通过一个几何的、依赖于度量的构造与高亏格B模型配分函数相匹配，且在度量选择下保持同伦不变。

ABSTRACT

We describe an explicit action of the prop of the chains on the moduli space of Riemann surfaces on the Hochschild complex of a Calabi-Yau elliptic space. One example of such an elliptic space extends the known string topology operations, for all compact simply-connected manifolds, to a collection indexed by the de Rham currents on the moduli space. Another example pertains to the B-model at all genera.

研究动机与目标

• 将卡拉比-丘椭圆空间的开TCFT构造推广为一种几何的、非代数的方式的闭TCFT，避免使用上同调替代微分形式的同调代数方法。
• 通过赫尔米特度量作为几何输入，提供模空间链群在卡拉比-丘椭圆空间霍赫希尔德复形上的显式几何作用。
• 证明该构造在霍赫希尔德同调上产生的操作与已知的弦拓扑操作及高亏格B模型操作等价，但处于链级。
• 在几何构造与康采维奇-索伊贝尔曼及科斯托洛的代数构造之间建立直接联系，证明其同伦等价。

提出的方法

• 引入元图范畴 $MG$，其弱等价于塞加尔的范畴 $\mathcal{S}$，并定义其在霍赫希尔德链复形模型上的作用。
• 构造 $C_*(MG)$ 上的 lax 代数，其结构映射 $C_*(MG(n,m)) \otimes L_*(\mathcal{A})[n] \to L_*(\mathcal{A})[m]$ 与微分、复合及张量积相容。
• 使用热核与度量带标号图上的微分形式，作为黎曼曲面模空间的分段线性模型。
• 应用同调摄动引理，将卡拉比-丘椭圆空间转换为有限维循环 $A_\infty$ 代数，从而实现TCFT构造。
• 通过庞加莱模型与零时刻热核，建立几何构造与代数构造之间的 zig-zag 同伦等价。
• 利用谱序列论证，证明几何与代数构造在同调层面上同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用几何的、微分几何的输入（如赫尔米特度量）而非纯粹代数的同调代数方法，为卡拉比-丘椭圆空间构造闭TCFT？
• RQ2 所提出的构造是否能在霍赫希尔德同调上产生操作，从而将经典弦拓扑操作扩展至整个黎曼曲面模空间？
• RQ3 尽管几何上更显式，该几何作用是否与康采维奇-索伊贝尔曼及科斯托洛的代数构造等价？
• RQ4 该构造能否应用于高亏格B模型？是否能通过模空间基本链上的积分恢复配分函数？
• RQ5 该构造是否在度量选择下保持同伦不变，从而确保几何不变性？

主要发现

• 本文构造了在元图范畴 $MG$ 的链复形上的 lax 代数，其中 $MG$ 与塞加尔的范畴 $\mathcal{S}$ 弱等价，其作用于卡拉比-丘椭圆空间霍赫希尔德复形的模型上。
• 该结构在霍赫希尔德同调上诱导出同调场论，存在映射 $H_*(\mathcal{S}(n,m)) \to \text{Hom}(HH_*(\mathcal{A},\mathcal{A})^{\otimes n}, HH_*(\mathcal{A},\mathcal{A})^{\otimes m})$。
• 对于单连通、紧致、定向流形 $M$ 的德拉姆复形，该构造恢复了由黎曼曲面模空间完整同调参数化的弦拓扑操作。
• 该构造在度量选择下保持同伦不变，确保了几何不变性。
• 该构造与由坍缩带标号图 $\tilde{\gamma}$ 诱导的弦拓扑操作可交换，如涉及 $H_*(L_*(\Omega^*M)[n])$ 与 $H^*(\mathcal{L}M)^{\otimes n}$ 的交换图所示。
• 对于卡拉比-丘流形 $X$ 上的B模型，该构造在霍赫希尔德同调 $H^{-\ast}(X, \Omega^\ast(X))$ 上显式实现了模空间链群的作用，该空间与扩展形变空间 $\oplus H^i(X, \wedge^j TX)$ 对偶，并通过模空间基本链上的积分几何地实现了配分函数。