[论文解读] Cobordism of flag bundles

Amalendu Krishna|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文为特征零域上概形上的主 $G$-丛所关联的旗丛的有理代数cobordism群与高阶Chow群建立了一个通用公式。通过利用极大环面和Weyl群的结构，该文将经典Chow群结果推广至代数cobordism理论，表明旗丛 $E/P$ 的cobordism同构于基概形的cobordism与分类空间 $BT$ 的张量积，将Vistoli定理由Chow群推广至代数cobordism的通用定向上同调理论。

ABSTRACT

Let $G$ be a connected linear algebraic group over a field $k$ of characteristic zero. For a principal $G$-bundle $π: E o X$ over a scheme $X$ of finite type over $k$ and a parabolic subgroup $P$ of $G$, we describe the rational algebraic cobordism and higher Chow groups of the flag bundle $E/P o X$ in terms of the cobordism of $X$ and that of the classifying space of a maximal torus of $G$ contained in $P$. As a consequence, we also obtain the formula for the cobordism and higher Chow groups of the principal bundles over the scheme $X$. If $X$ is smooth, this describes the cobordism ring of these bundles in terms of the cobordism ring of $X$.

研究动机与目标

• 将旗丛Chow群的已知描述推广至代数cobordism的通用定向上同调理论。
• 以基概形 $X$ 的cobordism与分类空间 $BT$ 的形式，描述旗丛 $E/P \to X$ 的有理代数cobordism。
• 将Vistoli对高阶Chow群的同构关系推广至代数cobordism的设定。
• 利用局部化序列，为Vistoli的Chow群定理提供一种新的、简化的证明。
• 通过极大环面与Weyl群的结构，计算任意概形上主 $G$-丛的cobordism群。

提出的方法

• 将Vistoli在高阶Chow群工作中的技术适应至代数cobordism的设定。
• 利用高阶Chow群的局部化序列，证明有理Chow群的同构关系。
• 通过基概形 $X$ 的维数归纳法，利用开稠密子集与有限 étale 覆盖，将问题约化至平凡旗丛的情形。
• 通过Weyl群与对称代数的结构，构造一个典范同构 $\Omega^*(E/P) \cong \Omega^*(X) \otimes_{\Omega^*(BT)} \Omega^*(G/P)$。
• 利用代数cobordism作为通用定向Borel-Moore同调理论的普遍性质，推导出主公式。
• 通过等变技巧与Weyl群 $W_P$ 的结构，将一般抛物子群情形约化至Borel子群情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以基概形 $X$ 的cobordism与分类空间 $BT$ 的形式，描述旗丛 $E/P \to X$ 的代数cobordism？
• RQ2 Vistoli已知的旗丛高阶Chow群与基之间的同构关系，是否可推广至代数cobordism的通用理论？
• RQ3 能否通过极大环面与Weyl群的结构，计算概形上主 $G$-丛的cobordism？
• RQ4 对称代数 $\mathrm{Sym}(\widehat{T})$ 及其 $W$-不变子代数在描述旗丛cobordism中起何作用？
• RQ5 是否存在一种基于局部化、简化的Vistoli定理在Chow群上的证明，且可推广至代数cobordism？

主要发现

• 旗丛 $E/P \to X$ 的有理代数cobordism 同构于 $\Omega^*(X) \otimes_{\Omega^*(BT)} \Omega^*(G/P)$，推广了Chow群的结果。
• 旗丛的高阶Chow群满足 $\mathrm{CH}^*(E/B) \cong \mathrm{CH}^*(X) \otimes_{\mathrm{Sym}(\widehat{T})^W} \mathrm{Sym}(\widehat{T})$，并以局部化序列给出了新证明。
• 主 $G$-丛 $E \to X$ 的cobordism 同构于 $\mathrm{CH}^*(X) \otimes_{S(G)} \mathbb{Q}$，其中 $S(G)$ 是 $\mathrm{Spec}(k)$ 的等变Chow环。
• 通过Albanese映射，该结果可推广至连通代数群的情形，得到 $\mathrm{CH}^*(G) \cong \mathrm{CH}^*(A(G))/I\mathrm{CH}^*(A(G))$。
• 旗丛的同构关系通过维数归纳法建立，利用开子集与有限 étale 覆盖，将问题约化至平凡丛情形。
• 本文通过将旗丛的cobordism群约化为基概形与分类空间 $BT$ 的cobordism，为计算旗丛的cobordism群提供了一个概念性且通用的框架。