[论文解读] Cohomological $χ$-independence for moduli of one-dimensional sheaves and moduli of Higgs bundles

Davesh Maulik, Junliang Shen|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 47被引用 6

一句话总结

本文建立了关于toric del Pezzo曲面上一维层的模空间以及亏格 g ≥ 2 的曲线上满足 deg(D) > 2g−2 的半稳定Higgs丛的上同调 χ-无关性。通过广义支撑定理、Hilbert–Chow 映射的维数估计，以及从堆栈到商空间的映射的分裂定理，作者证明了交上同调（包括迷向与霍奇滤子）关于欧拉示性数 χ 的无关性，从而确认了Bousseau与Toda对特定局部Calabi–Yau几何的猜想。

ABSTRACT

We prove that the intersection cohomology (together with the perverse and the Hodge filtrations) for the moduli space of one-dimensional semistable sheaves supported in an ample curve class on a toric del Pezzo surface is independent of the Euler characteristic of the sheaves. We also prove an analogous result for the moduli space of semistable Higgs bundles with respect to an effective divisor $D$ of degree $\mathrm{deg}(D)>2g-2$. Our results confirm the cohomological $χ$-independence conjecture by Bousseau for $\mathbb{P}^2$, and verify Toda's conjecture for Gopakumar-Vafa invariants for certain local curves and local surfaces. For the proof, we combine a generalized version of Ngô's support theorem, a dimension estimate for the stacky Hilbert-Chow morphism, and a splitting theorem for the morphism from the moduli stack to the good GIT quotient.

研究动机与目标

• 建立关于toric del Pezzo曲面上一维半稳定层模空间的上同调χ-无关性，针对一个丰沛曲线类 β。
• 证明关于曲线上半稳定Higgs丛模空间的类似χ-无关性，其中 D 满足 deg(D) > 2g−2。
• 确认Bousseau对 P² 的上同调χ-无关性猜想，以及Toda对某些局部曲线与局部toric del Pezzo曲面的Gopakumar–Vafa不变量的猜想。
• 证明交上同调（包括迷向与霍奇滤子）在χ变化下保持不变，即使模空间是奇异的。
• 将Ngô的支撑定理的应用范围扩展至模堆栈与GIT商空间中的自对偶复形。

提出的方法

• 将Ngô的支撑定理推广至层与Higgs丛模堆栈上的自对偶复形。
• 建立堆栈形式Hilbert–Chow映射的维数估计，以控制Hitchin纤维化基空间中奇点集的余维数。
• 应用从模堆栈到良好GIT商空间的映射的分裂定理，以分析Hitchin基空间与谱曲线的结构。
• 利用与谱曲线相关的相对度数为0的Picard簇来定义 δZ，并控制Hitchin基空间中各层的余维数。
• 结合支撑定理的不等式与维数估计，证明直接像复形 Rh∗IC 在基空间 B 上具有完全支撑。
• 利用不等式 Φβ + codim Z ≥ ∑Φβi + δZ 的唯一解为 s = 1, m_i = 1，即 Z = B，从而证明完全支撑与χ-无关性。

实验结果

研究问题

• RQ1 一维半稳定层模空间在toric del Pezzo曲面上的交上同调是否依赖于层的欧拉示性数 χ？
• RQ2 在亏格 g ≥ 2 的曲线上，若 deg(D) > 2g−2，则半稳定Higgs丛模空间的交上同调是否与 χ 无关？
• RQ3 能否通过交上同调与霍奇理论方法，证明Bousseau对 P² 的BPS数猜想？
• RQ4 Toda对局部曲线与局部toric del Pezzo曲面的Gopakumar–Vafa不变量的猜想，是否可由交上同调的χ-无关性推出？
• RQ5 在模堆栈的背景下，能否将自对偶复形的支撑定理扩展至包含迷向滤子与霍奇结构？

主要发现

• 在toric del Pezzo曲面上，一维半稳定层模空间的交上同调作为带迷向与霍奇滤子的过滤向量空间，对所有 χ 同构，无论模空间是奇异还是光滑。
• 对于亏格 g ≥ 2 的曲线上，deg(D) > 2g−2 的有效除子 D，半稳定Higgs丛模空间的χ-无关性同样成立。
• 不同 χ 对应的交上同调群之间的同构是典范的（至多一个标量因子），并保持迷向与霍奇滤子。
• 证明表明，Hitchin基空间上的直接像复形 Rh∗IC 具有完全支撑，这迫使唯一可能的层为整个基空间，从而推出χ-无关性。
• 该结果确认了Bousseau对对数K3曲面 (P², E) 的BPS数猜想，并验证了Toda对某些局部曲线与局部toric del Pezzo曲面的Gopakumar–Vafa不变量的猜想。
• 作者证明了不等式 Φβ + codim Z ≥ ∑Φβi + δZ 意味着 s = 1 且 m_i = 1，故 Z = B，这迫使支撑为整个基空间，从而证明了关键的上同调无关性。