[论文解读] Coincidence and Common Fixed Point Results for Contraction Type Maps in Partially Ordered Metric Spaces

Hassen Aydi|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2011

Fixed Point Theorems AnalysisMathematics参考文献 9被引用 22

一句话总结

该论文在部分有序度量空间中，针对满足广义压缩条件的三个自映射，建立了新的重合点与公共不动点定理，其中压缩条件由函数 β ∈ S 控制，且满足 β(tₙ) → 1 时必有 tₙ → 0。主要贡献是在相容性、弱递增性及连续性假设下，给出了公共不动点存在的充分条件，并通过推论 2.8 将理论结果应用于证明积分方程组存在公共解。

ABSTRACT

We present coincidence and common fixed point results of selfmappings satisfying a contraction type in partially ordered metric spaces. As an application, we give an existence theorem for a common solution of integral equations.

研究动机与目标

• 将 Geraghty 型不动点结果推广至部分有序度量空间中的三个自映射。
• 建立三个映射 f、g 和 H 存在公共重合点的条件。
• 在相容性、弱递增性及连续性条件下，证明唯一公共不动点的存在性。
• 将理论结果应用于证明积分方程组存在公共解。

提出的方法

• 通过函数 β ∈ S 定义压缩条件，其中 β(tₙ) → 1 蕴含 tₙ → 0。
• 利用映射 f、g 和 H 构造迭代序列 {xₙ} 和 {yₙ}，并满足 fX ⊆ HX 与 gX ⊆ HX。
• 利用相对于 H 的弱递增性，生成单调序列 {Hxₙ} 和 {yₙ}。
• 利用压缩条件与 β 的性质，证明 {d(yₙ₊₁, yₙ)} 递减且收敛于 0。
• 证明 {Hxₙ} 是完备度量空间 (X, d) 中的柯西序列，因此收敛。
• 利用 {f, H} 与 {g, H} 对的连续性与相容性，证明极限是公共不动点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在部分有序度量空间中，三个自映射 f、g 和 H 在何种条件下存在公共重合点？
• RQ2 相对于 H 的弱递增性如何促进不动点构造中迭代序列的收敛性？
• RQ3 函数类 S 中的 β 在确保不动点收敛性与唯一性方面起什么作用？
• RQ4 理论不动点结果能否用于证明积分方程组解的存在性？
• RQ5 在所提出的框架下，何种条件可保证公共不动点的唯一性？

主要发现

• 序列 {d(yₙ₊₁, yₙ)} 收敛于 0，意味着连续迭代点之间的距离趋于零。
• 序列 {Hxₙ} 是完备度量空间 (X, d) 中的柯西序列，因此收敛。
• 序列 {Hxₙ} 的极限是 f、g 和 H 的公共不动点，满足 fu = gu = Hu。
• 在 X 中任意两个元素均存在一个共同可比较元素的假设下，公共不动点是唯一的。
• 在积分方程的应用中表明，在连续性与压缩条件成立时，C([0, T]) 中存在公共解。
• 通过选取 β(t) = √(log(t² + 1))/t，满足压缩条件，且推论 2.8 保证了 f 与 g 存在公共不动点。