[论文解读] Computation of Optimal Control Problems with Terminal Constraint via Modified Evolution Partial Differential Equation

Sheng Zhang, Kaifeng He+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2018

Spacecraft Dynamics and Control参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文提出一种改进型演化偏微分方程（MEPDE），通过使不可行解在有限时间内收敛至可行域，以求解带有终端约束的最优控制问题。通过嵌入一阶稳定动力学与李雅普诺夫泛函，该方法可高效促使不活跃的终端不等式约束进入可行域，从而使得有限维常微分方程求解器可通过半离散化方法计算解。

ABSTRACT

The Variation Evolving Method (VEM), which seeks the optimal solutions with the variation evolution principle, is further developed to be more flexible in solving the Optimal Control Problems (OCPs) with terminal constraint. With the first-order stable dynamics to eliminate the infeasibilities, the Modified Evolution Partial Differential Equation (MEPDE) that is valid in the infeasible solution domain is proposed, and a Lyapunov functional is constructed to theoretically ensure its validity. In particular, it is proved that even with the infinite-time convergence dynamics, the violated terminal inequality constraints, which are inactive for the optimal solution, will enter the feasible domain in finite time. Through transforming the MEPDE to the finite-dimensional Initial-value Problem (IVP) with the semi-discrete method, the OCPs may be solved with common Ordinary Differential Equation (ODE) numerical integration methods. Illustrative examples are presented to show the effectiveness of the proposed method.

研究动机与目标

• 解决带有终端约束的最优控制问题（OCPs）的挑战，特别是当初始解不可行时。
• 克服现有变分演化方法（VEM）在处理最优解处不活跃的终端不等式约束时的局限性。
• 开发一种数值稳定且灵活的框架，可在无需预先保证可行性的情况下，直接在不可行解域中运行。
• 即使在无限时间动力学下，也确保终端约束的理论收敛性。
• 通过MEPDE的半离散化，实现使用标准常微分方程求解器进行实际计算。

提出的方法

• 提出一种在不可行域中运行的改进型演化偏微分方程（MEPDE），允许解向可行性演化。
• 引入一阶稳定动力学，以推动不可行解向可行性演化，尤其针对终端约束。
• 构建李雅普诺夫泛函，以数学方式证明MEPDE系统的稳定性和收敛性。
• 证明即使在使用无限时间收敛动力学的情况下，不活跃的终端不等式约束也能在有限时间内进入可行域。
• 应用半离散化，将MEPDE转化为可由标准常微分方程积分方法求解的有限维初值问题（IVP）。
• 利用常见的常微分方程求解器（例如，龙格-库塔法）求解所得IVP，确保计算可处理性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种偏微分方程框架，以处理带有终端约束的最优控制问题中初始解不可行的情况？
• RQ2 如何在有限时间内将最优解处不活跃的终端不等式约束驱动至可行域？
• RQ3 基于李雅普诺夫的何种稳定性条件可确保MEPDE系统在无限时间动力学下的收敛性？
• RQ4 MEPDE在多大程度上可进行半离散化，以实现使用标准常微分方程求解器进行最优控制计算？
• RQ5 与现有基于VEM的方法相比，该方法在性能和鲁棒性方面表现如何？

主要发现

• MEPDE确保即使在使用无限时间收敛动力学时，被违反的终端不等式约束也能在有限时间内进入可行域。
• 李雅普诺夫泛函的构造为改进演化系统的稳定性和收敛性提供了理论保证。
• MEPDE的半离散化将问题转化为标准初值问题（IVP），从而可利用广泛可用的常微分方程数值积分方法求解。
• 实例演示表明，该方法在处理初始不可行的终端约束方面具有显著有效性。
• 该方法通过直接在不可行域中运行，无需初始可行性，保持了灵活性和鲁棒性。
• 由于与标准数值求解器兼容且具备理论收敛保证，该方法在实际实现方面展现出强大潜力。