[论文解读] Congruences involving binomial coefficients and Lucas sequences

Zhi‐Wei Sun|ArXiv.org|Dec 7, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过代数数论和雅克比符号的性质，建立了中心二项式系数与卢卡斯序列在素数幂模下的新超同余关系。证明了在特定条件下，某些加权和在模 $ p $ 或 $ p^2 $ 下为零，具体取决于 $ p $ 的同余性质，且在 $ p = x^2 + 2y^2 $ 或 $ p = x^2 + 3y^2 $ 的特殊情况下给出了显式公式。结果推广了已知的超同余关系，并将其扩展到更广泛的序列族与权重。

ABSTRACT

In this paper we obtain some congruences involving central binomial coefficients and Lucas sequences. For example, we show that if p>5 is a prime then $\sum_{k=0}^{p-1}F_k*binom(2k,k)/12^k$ is congruent to 0,1,-1 modulo p according as p=1,4 (mod 5), p=13,17 (mod 30), and p=7,23 (mod 30) respectively, where {F_n} is the Fibonacci sequence. We also raise several conjectures.

研究动机与目标

• 将涉及中心二项式系数与卢卡斯序列的已知超同余关系推广至新的序列族与权重。
• 研究卢卡斯序列 $ u_n(A,B) $、$ v_n(A,B) $ 与中心二项式系数 $ \binom{2k}{k}^h $ 在模运算下的相互作用。
• 根据勒让德符号条件，建立涉及卢卡斯序列与二项式系数的加权和在模 $ p $ 或 $ p^2 $ 下的消失结果。
• 提出并支持关于佩尔、斐波那契、卢卡斯及其他卢卡斯序列与二项式系数之和的精确 $ p^2 $-同余猜想。
• 通过代数数论与特征和，统一并扩展先前关于超同余的结果，特别是 Rodriguez-Villegas 和 Mortenson 的工作。

提出的方法

• 使用由整数参数 $ A, B $ 定义的卢卡斯序列 $ u_n(A,B) $ 和 $ v_n(A,B) $，其通过特征方程 $ x^2 - Ax + B = 0 $ 的根给出闭式表达。
• 应用勒让德符号 $ \big(\frac{\bullet}{p^a}\big) $，根据 $ A+\rho $ 与 $ 2m $ 模 $ p^a $ 的二次剩余性对情况进行分类，其中 $ \rho = \frac{1}{2}\big(A + \big(A^2 - 4m^2\big)^{1/2}\big) $。
• 利用雅克比符号 $ \big(\frac{k}{3}\big) $ 和 $ \big(\frac{k}{5}\big) $ 作为乘法特征来加权求和，通过特征正交性实现同余分析。
• 使用生成函数与模形式，特别是对于由 $ q $-乘积定义的序列 $ a(n) $，将求和与模形式联系起来并推导同余关系。
• 借助 $ p $-进分析与格罗斯-科布利茨公式的已知结果，为推导出的同余关系提供依据与动机。
• 基于数值证据与代数数论提出猜想，特别针对 $ p = x^2 + 2y^2 $ 或 $ p = x^2 + 3y^2 $ 的素数，给出涉及 $ x $、$ y $ 与 $ p/x $ 的显式 $ p^2 $-同余关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，当 $ A, m, p, a $ 满足特定条件时，和式 $ \textstyle\binom{2k}{k}^h u_k(A, m^2) / (m^k (-4)^{hk}) $ 在模 $ p $ 下为零？
• RQ2 关于 $ (A+\rho)/p^a $ 与 $ 2m/p^a $ 的勒让德符号条件如何决定涉及 $ u_k $ 或 $ v_k $ 的和在模 $ p $ 下是否为零？
• RQ3 当 $ p \neq 2 $ 时，斐波那契、卢卡斯、佩尔及其他相关序列与中心二项式系数之和的精确 $ p^2 $-同余关系是什么？
• RQ4 将 $ p $ 表示为 $ x^2 + 2y^2 $ 或 $ x^2 + 3y^2 $ 的方式如何影响 $ Q_k $、$ S_k $ 或 $ T_k $ 与二项式系数之和的 $ p^2 $-同余结构？
• RQ5 在 $ p $ 满足特定同余条件时，能否证明加权和 $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k $ 分别乘以 $ F_{2k} $、$ L_{2k} $、$ P_k $ 或 $ Q_k $ 在模 $ p $ 或 $ p^2 $ 下为零？

主要发现

• 若 $ p \not\big| m $ 且 $ (A+\rho)/p^a = \big(\frac{2m}{p^a}\big) $，则 $ \textstyle\binom{2k}{k}^h u_k(A, m^2) / (m^k (-4)^{hk}) $ 在 $ k = 0 $ 到 $ p^a - 1 $ 的和模 $ p $ 为零。
• 若 $ (A+\rho)/p^a = -\big(\frac{2m}{p^a}\big) $，则对应涉及 $ v_k $ 的和模 $ p $ 为零。
• 当 $ p \neq 3 $、$ p \neq 5 $ 且 $ p \neq 2 $ 时，若 $ p \not\big| 5 $ 且 $ p \neq 2 $，则加权和 $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 16^k $ 乘以 $ F_{2k} $ 在模 $ p $ 下为零，满足特定同余条件。
• 当 $ p \neq 2 $ 时，若 $ p \neq 2 $，则加权和 $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 32^k $ 乘以 $ P_k $ 在模 $ p^2 $ 下为零；若 $ p \neq 2 $ 且 $ p \neq 8 $，则在模 $ p $ 下为零。
• 当 $ p \neq 3 $、$ p \neq 2 $ 且 $ p \neq 5 $ 时，若 $ p \neq 2 $，则加权和 $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / 64^k $ 乘以 $ S_k $ 在模 $ p^2 $ 下为零；若 $ p \neq 3 $，则在模 $ p $ 下为零。
• 当 $ p = x^2 + 2y^2 $ 且 $ x \neq 0 \bmod 8 $ 时，加权和 $ \textstyle\binom{2k}{k}^2 / (-8)^k $ 乘以 $ Q_k $ 满足涉及 $ 4x - p/x $ 的 $ p^2 $-同余关系，其符号与数值取决于 $ (p-1)/8 $ 或 $ (y+1)/2 $。