[论文解读] Constant-sized correlations are sufficient to robustly self-test maximally entangled states with unbounded dimension

Honghao Fu|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2019

Quantum Mechanics and Applications参考文献 9被引用 4

一句话总结

该论文表明，常规模的关联关系——具体而言，对于 r ∈ {2, 3, 5}，大小为 Θ(r²)——可以鲁棒地自测试任意局部维度的极大纠缠量子态。通过利用 Slofstra 的嵌入构造，并利用具有小本原根的素数的代数结构，作者设计了一种关联关系，以强制实现酉共轭关系 UOU† = Or，从而实现对高维极大纠缠态的自测试，且无论维度如何，问题和答案集合的大小均保持固定。

ABSTRACT

We show that for any prime odd integer $d$, there exists a correlation of size $Θ(r)$ that can robustly self-test a maximally entangled state of dimension $4d-4$, where $r$ is the smallest multiplicative generator of $\mathbb{Z}_d^\ast$. The construction of the correlation uses the embedding procedure proposed by Slofstra (Forum of Mathematics, Pi. Vol. $7$, ($2019$)). Since there are infinitely many prime numbers whose smallest multiplicative generator is at most $5$ (M. Murty The Mathematical Intelligencer $10.4$ ($1988$)), our result implies that constant-sized correlations are sufficient for robust self-testing of maximally entangled states with unbounded local dimension.

研究动机与目标

• 最小化自测试高局部维度极大纠缠态所需的问题和答案集合的大小。
• 证明仅使用常规模关联关系即可实现对无界局部维度极大纠缠态的自测试。
• 利用具有小本原根的素数（r ∈ {2, 3, 5}）的数论性质来构建此类关联关系。
• 将自测试框架从 qubit 和低维系统扩展到任意大维度，同时保持测量设置固定。
• 建立自测试协议在观测关联关系出现小统计扰动时的鲁棒性。

提出的方法

• 构建一个双-partite 量子关联关系 Pp,r，基于 Zp* 中乘法生成元的群论性质导出的 Θ(r) 个方程和变量的二元线性系统 Âx = 0。
• 使用 Slofstra 的嵌入过程，将该线性系统映射为一个非局域游戏，对于每个最小本原根为 r 的素数 p，其问题和答案集合大小恒定。
• 通过线性系统中的完美关联关系强制实现酉共轭关系 UOU† = Or，该关系作为对共享态的量子约束。
• 设计一种利用受控-酉操作和纠缠辅助态的量子策略，以实现该关联关系，其中证明共享态在局部等距意义下等价于维度为 p−1 的极大纠缠态。
• 应用表示论技术，证明任何实现完美关联关系的策略必须实现满足所需反对易和共轭关系的可观测量。
• 通过界定实际态与目标极大纠缠态之间的距离与统计偏差 ε 的关系，证明鲁棒性，得到误差界为 O(r^p ε^{1/8})。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以仅使用常规模问题和答案集合实现对无界局部维度极大纠缠态的自测试？
• RQ2 哪些素数的数论性质使得此类常规模关联关系得以构造？
• RQ3 是否可能通过不随局部维度增长的关联关系自测试高维极大纠缠态？
• RQ4 能否将酉共轭关系 UOU† = Or 作为结构约束，用于强制实现高维纠缠态的自测试？
• RQ5 当关联关系出现与理想值的小偏差时，自测试协议的鲁棒性如何？

主要发现

• 存在一族大小为 Θ(r²) 的关联关系 Pp,r，可自测试任意奇素数 p（其最小本原根为 r）对应的局部维度为 p−1 的极大纠缠态。
• 对于 r ∈ {2, 3, 5}，在具有最小本原根 r 的无穷素数集合 D 中，问题和答案集合的大小在所有素数 p 上保持恒定。
• 该构造依赖于一个线性系统 Âx = 0，其强制实现酉共轭关系 UOU† = Or，这是诱导所需纠缠结构的关键。
• 自测试协议具有鲁棒性：若观测到的关联关系与 Pp,r 的偏差为 ε，则实际态在局部等距意义下与目标极大纠缠态的距离为 O(r^p ε^{1/8})。
• 该结果意味着，由于具有本原根 2、3、5 的素数有无穷多个，常规模关联关系足以实现对无界局部维度极大纠缠态的自测试。
• 该协议可扩展至自测试目标态与两个 EPR 爱丽丝-贝尔特态的张量积，但因等距关系不同，对单个可观测量 O₁ 和 O₂ 的自测试仍为开放问题。