[论文解读] Quantum deformation of Feigin-Semikhatov's W-algebras and 5d AGT correspondence with a simple surface operator

Koichi Harada|arXiv (Cornell University)|May 28, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 61被引用 4

一句话总结

该论文通过将两个 $υ(\mathfrak{gl}_1$ 量子 toroidal 代数粘合，构建了与 $υ(N-1,1)$ $υ(\mathfrak{su}(2)$ 嵌入相关的 Feigin-Semikhatov 的 W-代数的量子形变。它建立了自由场实现，推导了二次关系，并在 $N=3$ 情况下确认了 Whittaker 状态的范数与带有简单表面算符的 5d instanton 分区函数之间的匹配，为 5d AGT 对应关系提供了证据。

ABSTRACT

The quantum toroidal algebra of $gl_1$ provides many deformed W-algebras associated with (super) Lie algebras of type A. The recent work by Gaiotto and Rapcak suggests that a wider class of deformed W-algebras including non-principal cases are obtained by gluing the quantum toroidal algebras of $gl_1$. These algebras are expected to be related with 5d AGT correspondence. In this paper, we discuss quantum deformation of the W-algebras obtained from $\widehat{su}(N)$ by the quantum Drinfeld-Sokolov reduction with su(2) embedding [N-1,1]. They were studied by Feigin and Semikhatov and we refer to them as Feigin-Semikhatov's W-algebras. We construct free field realization and find several quadratic relations. We also compare the norm of the Whittaker states with the instanton partition function under the presence of a simple surface operator in the N=3 case.

研究动机与目标

• 通过 $υ(\mathfrak{gl}_1$ 量子 toroidal 代数的粘合，构造与 $υ(N-1,1)$ $υ(\mathfrak{su}(2)$ 嵌入相关的 Feigin-Semikhatov 的 W-代数的量子形变。
• 通过粘合两个 $υ(\mathfrak{gl}_1$ 量子 toroidal 代数，将 Gaiotto-Rapčák 的框架推广至 q-形变情形。
• 为形变后的 W-代数建立自由场实现并推导二次关系。
• 比较带有简单表面算符时 Whittaker 状态的范数与 5d instanton 分区函数。
• 通过 $N=3$ 情况下的该比较，为 5d AGT 对应关系提供证据。

提出的方法

• 利用 $υ(\mathfrak{gl}_1$ 量子 toroidal 代数（即 Ding-Iohara-Miki 代数）作为形变 W-代数的统一框架。
• 通过将 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}_2)$ 分解为两个 $υ(\mathfrak{gl}_1$ 量子 toroidal 代数，构造形变顶点算符，推广自 $N=2$ 情况。
• 将粘合构造应用于将 Gaiotto-Rapčák 的 Y-代数框架提升至 q-形变设置。
• 通过算符乘积展开和涉及 $f(w/z)$ 的辫子因子，推导形变电流 $\mathscr{E}'_N(z)$ 的二次关系。
• 利用归纳法和狄拉克函数恒等式，证明一般 $N$ 情况下关系式 (4.46) 成立，依赖于 $N$-情况的假设。
• 通过特征标匹配和态的归一化，比较 Whittaker 态的范数与 5d instanton 分区函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $υ(\mathfrak{gl}_1$ 量子 toroidal 代数，对 $[N-1,1]$ $υ(\mathfrak{su}(2)$ 嵌入下的 Feigin-Semikhatov 的 W-代数进行量子形变？
• RQ2 量子 toroidal 代数的粘合构造能否重现形变 W-代数的结构及其自由场实现？
• RQ3 在 $N$-情况中，形变电流满足的显式二次关系为何？
• RQ4 在形变 W-代数中，Whittaker 态的范数是否与带有简单表面算符的 5d instanton 分区函数匹配？
• RQ5 在 $N=3$ 情况下，该匹配如何通过此方式确认 5d AGT 对应关系？

主要发现

• 通过粘合两个 $υ(\mathfrak{gl}_1$ 量子 toroidal 代数，成功构建了 Feigin-Semikhatov 的 W-代数的量子形变，推广了 $N=2$ 情况。
• 为形变 W-代数建立了自由场实现，提供了以玻色子场表示的明确实现。
• 推导并证明了形变电流 $\mathscr{E}'_N(z)$ 的二次关系，关键关系式 (4.46) 对所有 $N$ 成立。
• 在 $N=3$ 情况下，Whittaker 态的范数与带有简单表面算符的 5d instanton 分区函数完全匹配。
• 证明依赖于辫子因子 $f(w/z)$ 和狄拉克函数恒等式来抵消交叉项，确认了代数结构的一致性。
• 结果通过代数与物理分区函数的匹配，为在表面算符存在下 5d AGT 对应关系提供了强有力证据。