[论文解读] Densest Subgraph in Dynamic Graph Streams

Andrew McGregor, David Tench+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2015

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 16被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种单遍动态图流算法，通过使用 O(ε⁻²n polylog n) 的空间和每次更新 polylog(n) 的时间，以 (1+ε) 因子近似稠密子图。通过利用两两独立的哈希函数和 ℓ₀-采样原原子，该算法高效地采样边，并计算稀疏代理图，以高概率估计最大子图密度。

ABSTRACT

In this paper, we consider the problem of approximating the densest subgraph in the dynamic graph stream model. In this model of computation, the input graph is defined by an arbitrary sequence of edge insertions and deletions and the goal is to analyze properties of the resulting graph given memory that is sub-linear in the size of the stream. We present a single-pass algorithm that returns a $(1+ε)$ approximation of the maximum density with high probability; the algorithm uses $O(ε^{-2} n \polylog n)$ space, processes each stream update in $\polylog (n)$ time, and uses $\poly(n)$ post-processing time where $n$ is the number of nodes. The space used by our algorithm matches the lower bound of Bahmani et al.~(PVLDB 2012) up to a poly-logarithmic factor for constant $ε$. The best existing results for this problem were established recently by Bhattacharya et al.~(STOC 2015). They presented a $(2+ε)$ approximation algorithm using similar space and another algorithm that both processed each update and maintained a $(4+ε)$ approximation of the current maximum density in $\polylog (n)$ time per-update.

研究动机与目标

• 解决在子线性内存下近似动态图流中稠密子图的挑战。
• 以高概率实现最大子图密度的 (1+ε)-近似。
• 在使用接近信息论下限的空间的同时，保持每次边插入/删除的 polylog(n) 更新时间。
• 通过在采样图上使用精确的稠密子图算法，实现高效的后处理以计算最终估计值。
• 克服先前工作在类似资源约束下仅能达到 (2+ε) 或 (4+ε) 近似的局限性。

提出的方法

• 使用两两独立的哈希函数，根据哈希值将边划分为组 E_{i,j}。
• 使用 ℓ₀-采样原原子，从每个 E_{i,j} 中无放回均匀采样 τ = 24c log n 条边。
• 利用 Jowhari 等人提出的线性投影，通过从投影中减去先前采样的边指示值，实现对不同边的采样。
• 维护 |E_{i,j}| 和总边数 m 的计数器，以计算采样概率 p = (ε² m)/(n log n)。
• 从采样边构建稀疏代理图 G'，确保 G' 中的子图密度能近似原图中的密度。
• 使用 Charikar 的精确算法计算 G' 中的最大密度，然后将结果乘以 1/p 以估计原图中稠密子图的密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在动态图流中以对数时间复杂度和接近最优空间，维护稠密子图的 (1+ε)-近似？
• RQ2 是否可能仅通过一次遍历流数据，实现高概率的 (1+ε)-近似？
• RQ3 如何将 ℓ₀-采样适配到动态环境中，以高效实现无放回采样？
• RQ4 能否使空间使用量相对于该问题的已知下限达到渐近紧致？
• RQ5 在完全动态图流模型中，近似质量与更新效率之间存在何种权衡？

主要发现

• 该算法以高概率实现了稠密子图的 (1+ε)-近似，优于先前工作达到的 (2+ε) 和 (4+ε) 边界。
• 空间使用量为 O(ε⁻²n polylog n)，对于常数 ε，与 Bahmani 等人的下限仅相差一个 polylog 因子。
• 每次边更新的处理时间在 polylog(n) 内，实现了最坏情况而非摊还效率。
• 后处理步骤在 poly(n) 时间内运行，由于采样图的稀疏性，该时间是可行的。
• 通过使用多个哈希分区和带减法的 ℓ₀-采样，实现了在 polylog(n) 时间内无放回、均匀采样不同边。
• 分析表明，以高概率，每组 E_{i,j} 中的采样边数保持在 τ = 24c log n 以下，从而确保了正确性和效率。