[论文解读] Detecting effectivity of motives, their weights, connectivity, and dimension via Chow-weight (co)homology: a "mixed motivic decomposition of the diagonal"

Mikhail V. Bondarko, Vladimir Sosnilo|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 43被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对有效 Voevodsky 动力的新型 Chow-权重（co）同调理论，通过广义的‘混合动机对角分解’检测动机的有效性、权重、连通性与维数。该理论证明：一个动机是 r-有效当且仅当其 Chow-权重同调在低于 r 的度数上消失，并证明了高阶动机同调中挠子群的指数有限，将经典的对角分解结果推广至任意代数簇与上同调理论。

ABSTRACT

We describe certain criteria for a motif $M$ to be $r$-effective, i.e., to belong to the $r$th Tate twist $Obj DM^{eff}_{gm,R}(r)=Obj DM^{eff}_{gm,R} \otimes L^{\otimes r}$ of effective Voevodsky motives (for $r\ge 1$; $R$ is the coefficient ring). In particular, $M$ is 1-effective if and only if a complex whose terms are certain Chow groups of zero-cycles is acyclic. The dual to this statement checks whether an effective motif $M$ belongs to the subcategory of $DM^{eff}_{gm,R}$ generated by motives of varieties of dimension $\le r$. These criteria are formulated in terms of the Chow-weight (co)homology of $M$. These (co)homology theories are introduced in the current paper and have several (other) remarkable properties: they yield a bound on the "weights" of $M$ (in the sense of the Chow weight structure defined by the first author) and detect the effectivity of "the lower weight pieces" of $M$. We also calculate the "connectivity" of $M$ (in the sense of Voevodsky's homotopy t-structure) and prove that the exponents of the higher motivic homology groups (of an "integral" motif) are bounded whenever these groups are torsion. These motivic properties of $M$ have important consequences for its cohomology. As a corollary, we prove that if Chow groups of an arbitrary variety $X$ vanish up to dimension $r-1$ then the highest Deligne weight factors of the (singular or étale) cohomology of $X$ with compact support are $r$-effective in the naturally defined sense. Our results yield a vast generalization of the so-called "decomposition of the diagonal" statements.

研究动机与目标

• 为域上以环 R 为系数的有效几何动机类别 $ DM^{eff}_{gm,R} $ 构建一种新的 Chow-权重（co）同调理论。
• 检测一个动机 M 是否为 r-有效，即其是否属于有效动机范畴的第 r 个 Tate 括张。
• 在 Chow 权重结构中界定 M 的权重，并检测其低权重部分的有效性。
• 将这些同调不变量与动机同调、具有紧支集的上同调，以及动机谱的性质联系起来。
• 将经典的‘对角分解’结果推广至任意代数簇与上同调理论，包括奇异上同调与 étale 上同调。

提出的方法

• 利用权重结构与权重复形，在类别 $ DM^{eff}_{gm,R} $ 上定义新的 Chow-权重（co）同调理论。
• 运用权重谱序列与权重复形技术，将 Chow-权重同调与动机的有效性及权重滤过联系起来。
• 应用 Poincaré 对偶性，将同调上的有效性条件转化为上同调条件。
• 利用局部化方法及 [Bon18a]、[Bon19] 与 [BoS18c] 中关于权重复形的结果，分析维数与有效性的界。
• 研究 Chow-权重同调在基变换与双有理映射下的行为，证明在光滑基情形下其为双有理不变量。
• 通过权重滤过结构与猜想的动机上同调，分析高阶动机同调中挠子群的指数并给出上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 何时一个动机 M 属于 $ DM^{eff}_{gm,R} $ 的 r-有效？其可通过 Chow-权重同调如何检测？
• RQ2 动机 M 在 Chow 权重结构中的权重如何与 Chow-权重同调的消失性相关？
• RQ3 M 的低权重部分的有效性与 Chow-权重同调在负度数的消失性之间有何联系？
• RQ4 对于整数动机，高阶动机同调群中挠子群的指数行为如何？
• RQ5 在何种程度上，可利用此新同调理论将经典的‘对角分解’推广至任意代数簇与上同调理论？

主要发现

• 一个动机 M 是 r-有效当且仅当其 Chow-权重同调在所有低于 r 的度数上消失，从而为有效性提供了同调判别准则。
• 整数动机的高阶动机同调群中挠子群具有有限指数，该结果通过权重滤过与对偶性证明。
• 若代数簇 X 的 Chow 群在维数至多 r−1 时消失，则其具有紧支集的上同调中最高 Deligne 权重因子为 r-有效。
• 在动机猜想 A 与 B 成立的假设下，该逆命题对奇异上同调成立，从而建立了有效性的上同调刻画。
• 动机的 Chow-权重同调可检测其在 Voevodsky 的同伦 t-结构中的连通性，且负度数的消失性并不意味着权重非负。
• 反例表明 Chow-权重同调无法检测权重的上界，但在猜想成立下，奇异同调上的权重滤过可实现此功能。