[论文解读] Dividing Bads is Harder than Dividing Goods: On the Complexity of Fair and Efficient Division of Chores

Bhaskar Ray Chaudhury, Jugal Garg+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2020

Economic theories and models参考文献 41被引用 6

一句话总结

本文研究了在线性不效用函数下公平且高效的家务分配问题的计算复杂性，表明寻找一种竞争性一般均衡，使得没有任何代理人被分配其极度厌恶的家务，是强 NP-难问题。此外，即使在存在一个简单存在性充分条件的情况下，计算此类均衡仍是 PPAD-难的——这与商品分配中可解的情况形成鲜明对比。

ABSTRACT

We study the chore division problem where a set of agents needs to divide a set of chores (bads) among themselves fairly and efficiently. We assume that agents have linear disutility (cost) functions. Like for the case of goods, competitive division is known to be arguably the best mechanism for the bads as well. However, unlike goods, there are multiple competitive divisions with very different disutility value profiles in bads. Although all competitive divisions satisfy the standard notions of fairness and efficiency, some divisions are significantly fairer and efficient than the others. This raises two important natural questions: Does there exist a competitive division in which no agent is assigned a chore that she hugely dislikes? Are there simple sufficient conditions for the existence and polynomial-time algorithms assuming them? We investigate both these questions in this paper. We show that the first problem is strongly NP-hard. Further, we derive a simple sufficient condition for the existence, and we show that finding a competitive division is PPAD-hard assuming the condition. These results are in sharp contrast to the case of goods where both problems are strongly polynomial-time solvable. To the best of our knowledge, these are the first hardness results for the chore division problem, and, in fact, for any economic model under linear preferences.

研究动机与目标

• 确定是否存在一种竞争性分配，使得没有任何代理人被分配其极度厌恶的家务。
• 识别此类公平且高效的分配存在的简单充分条件。
• 分析在这些条件下寻找竞争性均衡的计算复杂性。
• 将家务分配问题与更易理解的商品分配情形进行对比，后者类似问题可在多项式时间内求解。
• 为线性偏好下的家务分配建立基础性难解性结果，这是计算经济学中此前未被探索的领域。

提出的方法

• 将问题归约为标准化的双矩阵博弈，利用此类博弈已知的 PPAD-难性结果。
• 从一个双矩阵博弈实例构造到满足特定充分条件的家务分配实例的归约。
• 利用价格调节和比例放大特性，对均衡价格施加结构约束。
• 应用固定收益与价格相等引理，推导出代理人收益与家务价格的界限。
• 基于价格比率的反证法，证明在均衡约束下，某些分配是不可能的。
• 证明若某代理人对某家务的不效用过高，则在均衡条件下该家务的分配必须为零，利用价格与收益不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算上是否难以找到一种竞争性家务分配，使得没有任何代理人被分配其极度厌恶的家务？
• RQ2 是否存在简单充分条件使此类竞争性分配存在，且此类分配能否被高效计算？
• RQ3 在线性偏好下，家务分配的复杂性与商品分配相比如何？
• RQ4 能否在多项式时间内判定是否存在具有有界不效用的竞争性一般均衡？
• RQ5 经济的哪些结构性特征（例如价格比率、初始禀赋）在均衡中强制不分配厌恶的家务？

主要发现

• 即使在 CEEI 设置下，寻找一种竞争性分配，使得没有任何代理人被分配不效用超过给定阈值 τ 的家务，也是强 NP-难问题。
• 在存在一个简单充分条件的情况下，计算竞争性分配仍为 PPAD-难，表明其存在固有的计算不可解性。
• 这些难解性结果与商品分配的情形形成鲜明对比，后者中两个问题均可在强多项式时间内求解。
• 作者首次建立了在线性偏好下家务分配的已知难解性结果，且适用于任何具有线性偏好的经济模型。
• 从标准化双矩阵博弈到家务分配的归约证明了，即使在经济满足自然充分条件时，仍为 PPAD-难。
• 该证明依赖于通过结构约束强制价格比率，表明若价格比率违反特定界限，则高不效用家务无法被分配。