[论文解读] Double Groupoids, Orbifolds, and the Symplectic Category

Santiago Cañez|arXiv (Cornell University)|May 13, 2011

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文引入了辛霍普夫oid——辛范畴中的一类结构，作为辛几何中广群的推广——并展示了其在通过典范关系构造辛轨道丛中的作用。证明了辛双广群的核心通过辛约化成为辛广群，并推测所有辛轨道丛均由此类构造产生，为理解辛叠及其量子化提供了一个新框架。

ABSTRACT

Motivated by an attempt to better understand the notion of a symplectic stack, we introduce the notion of a symplectic hopfoid, which should be thought of as the analog of a groupoid in the so-called symplectic category. After reviewing some foundational material on canonical relations and this category, we show that symplectic hopfoids provide a characterization of symplectic double groupoids in these terms. Then, we show how such structures may be used to produce examples of symplectic orbifolds, and conjecture that all symplectic orbifolds arise via a similar construction. The symplectic structures on the orbifolds produced arise naturally from the use of canonical relations. The characterization of symplectic double groupoids mentioned above is made possible by an observation which provides various ways of realizing the core of a symplectic double groupoid as a symplectic quotient of the total space, and includes as a special case a result of Zakrzewski concerning Hopf algebra objects in the symplectic category. This point of view also leads to a new proof that the core of a symplectic double groupoid itself inherits the structure of a symplectic groupoid. Similar constructions work more generally for any double Lie groupoid---producing what we call a Lie hopfoid---and we describe the sense in which a version of the "cotangent functor" relates such hopfoid structures.

研究动机与目标

• 通过辛范畴与典范关系发展辛叠的框架。
• 通过辛霍普夫oid表征辛双广群，作为辛范畴中广群的推广。
• 证明辛霍普夫oid可用来构造辛轨道丛，推测所有此类轨道丛均由此方式产生。
• 探索辛霍普夫oid的量子化，作为通往辛叠几何量子化的一条路径。
• 将辛范畴中的李霍普夫oid与余切函子及广义霍普夫代数胚联系起来。

提出的方法

• 使用辛流形之间的典范关系作为态射，引入辛范畴。
• 将辛霍普夫oid定义为辛范畴中的霍普夫代数对象，推广辛广群。
• 通过辛约化，将辛双广群的总空间的约化实现为核心。
• 将该构造应用于李广群，证明余切提升 $T^*G \rightrightarrows T^*M$ 构成一个辛霍普夫oid。
• 证明此类霍普夫oid的量子化通过典范关系的几何量子化产生量子广群结构。
• 提出一种利用 $L^2$-空间与积分映射的量子化程序，导出类似霍普夫代数胚的代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用辛范畴中的结构表征辛叠？
• RQ2 辛霍普夫oid在构造辛轨道丛中扮演何种角色？
• RQ3 辛双广群的核心如何继承辛广群结构？
• RQ4 所有辛轨道丛是否均可作为辛霍普夫oid构造的商空间实现？
• RQ5 辛霍普夫oid的几何量子化会产生何种代数结构？

主要发现

• 通过总空间的辛约化，证明了辛双广群的核心是辛广群。
• 辛霍普夫oid通过典范关系与辛约化，为辛双广群提供了表征。
• 该构造自然地从辛霍普夫oid产生辛轨道丛，支持所有辛轨道丛均由此方式产生的猜想。
• 余切提升 $T^*G \rightrightarrows T^*M$ 的量子化在 $L^2(G) \rightrightarrows L^2(M)$ 上产生霍普夫代数胚结构，通过积分与卷积映射实现。
• 该量子化过程表明，辛霍普夫oid可量子化为量子广群结构，具有在辛与余切叠上应用的潜力。
• 该框架可推广至李霍普夫oid，通过典范关系提出与余切函子的联系。