[论文解读] Equivariant Modular Categories via Dijkgraaf-Witten Theory

Jennifer Maier, Thomas Nikolaus+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用 4

一句话总结

本文利用有限群 $J$ 对有限群 $G$ 的弱作用，通过 Dijkgraaf-Witten 理论构造了 $J$-等变模张量范畴。它引入了一个作为 $J$-辫子代数的等变 Drinfel'd 双代数，推广了标准的 Drinfel'd 双代数，并证明了所得范畴是模的，且自然地携带一个 $J$-作用，从而完成了等变拓扑量子场论的范畴化 orbifold 正方形。

ABSTRACT

Based on a weak action of a finite group J on a finite group G, we present a geometric construction of J-equivariant Dijkgraaf-Witten theory as an extended topological field theory. The construction yields an explicitly accessible class of equivariant modular tensor categories. For the action of a group J on a group G, the category is described as the representation category of a J-ribbon algebra that generalizes the Drinfel'd double of the finite group G.

研究动机与目标

• 通过 Dijkgraaf-Witten 理论构造 $J$-等变扩展拓扑量子场论的几何实现。
• 提供由有限群作用产生的具体等变模张量范畴类。
• 通过 $J$-辫子代数将 Drinfel'd 双代数构造推广以纳入群作用。
• 通过证明 $J$-等变范畴的模化等价于标准 Drinfel'd 双代数，完成范畴化 orbifold 正方形。
• 通过特征理论和 2-线性化，建立扭曲丛、作用群胚与模范畴之间的联系。

提出的方法

• 利用有限群 $J$ 对有限群 $G$ 的弱作用，将 $J$-等变 Dijkgraaf-Witten 理论定义为扩展 TFT。
• 在群代数 $\mathbb{K}[G]$ 上构造等变 Drinfel'd 双代数作为 $J$-辫子代数，推广标准 Drinfel'd 双代数 $\mathcal{D}(G)$。
• 通过作用群胚 $M//G$ 上的等式 2-线性化，将表示范畴实现为模范畴。
• 利用 $G$-等变类函数在 $M \times G$ 上的上同调描述，对扭曲丛进行刻画，其在共轭作用下保持不变。
• 应用作用群胚的特征理论，包括正交关系和广义 Burnside 定理，对不可约表示进行分类。
• 通过 $J=H/G$ 的正则表示的诱导，证明范畴 $\mathcal{B}(G\triangleleft H)$-mod 的模化等价于 $\mathcal{D}(G)$-mod。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从有限群 $G$ 上的群 $J$ 的弱作用几何构造出 $J$-等变模张量范畴？
• RQ2 等变 Drinfel'd 双代数作为 $J$-辫子代数的结构是怎样的？它如何推广标准 Drinfel'd 双代数？
• RQ3 能否将由正规子群包含 $G \triangleleft H$ 产生的预模范畴的模化实现为 $J=H/G$ 的 $J$-等变模范畴？
• RQ4 等变理论中的扭曲扇区和耦合规则如何与惯性群胚 $\Lambda(M//G)$ 及集合 $A = \{(m,g) \mid g.m = m\}$ 上的 $G$-轨道相关联？
• RQ5 群 $J$ 的正则表示在从等变范畴诱导模范畴的过程中起什么作用？它与 orbifold 构造有何关联？

主要发现

• 等变 Dijkgraaf-Witten 理论产生一个与等变 Drinfel'd 双代数表示范畴等价的 $J$-等变模张量范畴。
• 作用群胚 $M//G$ 的不可约表示数量等于其惯性群胚 $\Lambda(M//G)$ 的对象同构类数量，即 $|I| = |\mathrm{Iso}(\Lambda(M//G))|$。
• 群胚 $M//G$ 的正则表示的特征为 $\chi_H(m,g) = \delta(g,1)\cdot|G|$，且每个不可约表示的重数等于其维数。
• $\mathcal{B}(G\triangleleft H)$-mod 是预模的且可模化，其模化通过 $J=H/G$ 的正则表示的诱导等价于 $\mathcal{D}(G)$-mod。
• 群胚 $M//G$ 的不可约特征构成类函数空间的正交基，其双线性形式为 $\langle f,f'\rangle = \frac{1}{|G|}\sum_{g,m} f(m,g^{-1})f'(m,g)$。
• 广义 Burnside 定理成立：$\sum_{i\in I} |d_i|^2 = |M||G|$，其中 $d_i = \dim V_i$ 为 $M//G$ 的简单表示 $V_i$ 的维数。