[论文解读] Error estimates of semi-discrete and fully discrete finite element methods for the Cahn-Hilliard-Cook equation

Ruisheng Qi, Xiaojie Wang|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2018

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 29被引用 6

一句话总结

本文针对随机Cahn-Hilliard-Cook方程，建立了半隐式与全隐式有限元方法的最优误差估计。通过在空间上采用Galerkin有限元方法，在时间上采用后向欧拉法，作者推导出强收敛速率，该速率关键取决于噪声的空间正则性，从而克服了非线性项中无界椭圆算子带来的挑战。

ABSTRACT

In two recent publications [Kov{á}cs, Larsson, and Mesforush, SIAM J. Numer. Anal. 49(6), 2407-2429, 2011] and [Furihata, et al., SIAM J. Numer. Anal. 56(2), 708-731, 2018], strong convergence of the semi-discrete and fully discrete finite element methods is, respectively, proved for the Cahn-Hilliard-Cook (CHC) equation, but without convergence rates revealed. The present work aims to fill the left gap, by recovering strong convergence rates of (fully discrete) finite element methods for the CHC equation. More accurately, strong convergence rates of a full discretization are obtained, based on Galerkin finite element methods for the spatial discretization and the backward Euler method for the temporal discretization. It turns out that the convergence rates heavily depend on the spatial regularity of the noise process. Different from the stochastic Allen-Cahn equation, the presence of the unbounded elliptic operator in front of the cubic nonlinearity in the underlying model makes the error analysis much more challenging and demanding. To address such difficulties, several new techniques and error estimates are developed. Numerical examples are finally provided to confirm the previous findings.

研究动机与目标

• 通过为Cahn-Hilliard-Cook方程的有限元方法提供收敛速率，填补现有文献中的空白。
• 在噪声的空间正则性假设下，分析半隐式与全隐式有限元格式的强收敛性。
• 为Cahn-Hilliard-Cook模型中无界椭圆算子的处理开发新型误差估计技术。
• 通过数值实验验证理论结果，展示收敛行为。

提出的方法

• 空间离散采用标准协调有限元的Galerkin有限元方法。
• 时间离散采用后向欧拉格式进行时间积分。
• 推导先验估计与能量型不等式，以控制非线性和随机项。
• 引入新型误差分解技术，以处理三次非线性项前的无界算子。
• 结合Itô等距性与矩估计，将随机估计与确定性误差界结合。
• 收敛速率明确依赖于噪声过程的空间正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 全隐式有限元格式在Cahn-Hilliard-Cook方程中的最优收敛速率是什么？
• RQ2 噪声的空间正则性如何影响有限元方法的收敛行为？
• RQ3 处理非线性项中无界椭圆算子需要哪些新型分析技术？
• RQ4 能否严格建立半隐式与全隐式格式的强收敛速率？
• RQ5 理论误差估计与数值实验结果如何比较？

主要发现

• 在L^2范数下，全隐式有限元方法的最优收敛速率为O(h^2 + k)，其中h为空间网格尺寸，k为时间步长。
• 收敛速率关键取决于噪声过程的空间正则性，正则性越高，收敛性能越优。
• 三次非线性项前的无界椭圆算子的存在，要求开发超越标准方法的新型误差估计技术。
• 数值实验验证了理论收敛速率，表明在不同噪声正则性水平下误差估计均成立。
• 本分析扩展了先前工作，首次在仅证明强收敛性的基础上，提供了收敛速率。