[论文解读] Expansions of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Multiplicities 1 to 4, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 25被引用 25

一句话总结

本论文通过在 $L_2([t, T]^k)$ 中使用广义多重傅里叶级数，提出了对多重性为1至4的迭代伊藤-斯特拉托诺维奇随机积分的均方收敛展开，证明了勒让德级数和三角级数的收敛性。关键贡献是一种仅需一次极限过渡的方法，从而实现了对具有非交换噪声的多维伊藤随机微分方程的高效数值逼近。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Stratonovich stochastic integrals of multiplicities 1 to 4 on the basis of the method of generalized multiple Fourier series that are converge in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k=1,2,3,4.$ Mean-square convergence of the expansions for the case of multiple Fourier-Legendre series and for the case of multiple trigonometric Fourier series is proved. The considered expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. This property is very important for the mean-square approximation of iterated stochastic integrals. The results of the article can be applied to the numerical integration of Ito stochastic differential equations with multidimensional non-commutative noises.

研究动机与目标

• 开发一种用于近似多重性为1至4的迭代斯特拉托诺维奇随机积分的数值高效方法。
• 确保在希尔伯特空间 $L_2([t, T]^k)$ 中，对 $k = 1,2,3,4$ 的展开实现均方收敛。
• 通过仅需一次极限过渡，降低计算复杂度，与现有需多次极限过渡的方法形成对比。
• 实现对具有多维非交换噪声的伊藤随机微分方程的实际数值积分。
• 将傅里叶级数技术推广至使用正交展开的高阶随机积分。

提出的方法

• 在 $L_2([t, T]^k)$ 中对 $k=1,2,3,4$ 使用广义多重傅里叶级数展开，以表示迭代斯特拉托诺维奇随机积分。
• 采用多重勒让德多项式级数和多重三角傅里叶级数作为展开的基函数。
• 在希尔伯特空间范数下，证明了两种级数展开的均方收敛性。
• 在近似过程中仅使用一次极限过渡，相较于现有需多次极限的多极限方法，简化了计算框架。
• 通过正交基函数推导出被积函数的傅里叶系数的显式表达式。
• 通过 $L_2$ 空间中正交展开的性质，建立理论收敛保证。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用广义多重傅里叶级数有效展开多重性为1至4的迭代斯特拉托诺维奇随机积分？
• RQ2 所提出的方法是否在 $L_2([t, T]^k)$ 中对勒让德级数和三角级数均实现均方收敛？
• RQ3 与现有需多次极限的多极限方法相比，近似过程中的单次极限过渡在计算效率方面有何优势？
• RQ4 正交基函数在确保展开的收敛性和稳定性方面起到何种作用？
• RQ5 该方法在多维伊藤SDE中具有非交换噪声的数值求解方面，可应用到何种程度？

主要发现

• 多重性为1至4的迭代斯特拉托诺维奇随机积分在 $L_2([t, T]^k)$ 中，对勒让德和三角傅里叶级数均实现均方收敛。
• 该方法仅需一次极限过渡，与现有需多次极限的方法相比，显著简化了数值实现。
• 对多重勒让德和多重三角傅里叶级数展开，均严格证明了均方收敛性。
• 该方法实现了对具有多维非交换噪声的伊藤随机微分方程的高效数值积分。
• 使用广义多重傅里叶级数确保了高阶随机积分的鲁棒且稳定的近似。
• 理论框架支持具有保证收敛性质的实际计算，适用于数值应用。