[论文解读] Exact Calculation of the Mean-Square Error in the Method of Approximation of Iterated Ito Stochastic integrals, Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用 31

一句话总结

本文提出了一种在 $L_2([t, T]^k)$ 中利用广义多重傅里叶级数对任意阶数 $k$ 的迭代伊藤随机积分进行精确均方误差计算的方法。该方法在傅里叶-勒让德和三角级数展开下均实现了概率为1的收敛性，从而支持了针对伊藤 SDE 和具有迹类噪声的非交换半线性 SPDE 的更高效高阶强数值方法。

ABSTRACT

The article is devoted to the developement of the method of expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k)$ ($k$ is the multiplicity of the iterated Ito stochastic integral). We obtain the exact and approximate expressions for the mean-square error of approximation of iterated Ito stochastic integrals of multiplicity $k$ ($k\in\mathbb{N}$) from the stochastic Taylor-Ito expansion in the framework of the mentioned method. As a result, we do not need to use redundant terms of expansions of iterated Ito stochastic integrals, that complicate the numerical methods for Ito stochastic differential equations. Moreover, we proved the convergence with propability 1 of the method of expansion of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series for the cases of multiple Fourier-Legendre series and multiple trigonometric Fourier series. Mean-square approximation of iterated Stratonovich stochastic integrals is also considered in the article. The results of the article can be applied to the high-order strong numerical methods for Ito stochastic differential equations as well as non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise (in accordance with the mean-square criterion of convergence).

研究动机与目标

• 开发一种针对任意阶数 $k$ 的迭代伊藤随机积分的均方逼近的严格方法。
• 消除在伊藤 SDE 数值格式中导致复杂化的冗余展开项。
• 为迭代伊藤积分的广义多重傅里叶级数展开（特别是傅里叶-勒让德和三角级数）建立几乎必然收敛性。
• 将逼近框架扩展至迭代克拉伦斯随机积分。
• 支持针对具有迹类噪声的伊藤 SDE 和非交换半线性 SPDE 的高阶强数值方法的开发。

提出的方法

• 在希尔伯特空间 $L_2([t, T]^k)$ 中利用广义多重傅里叶级数展开来逼近迭代伊藤随机积分。
• 采用勒让德多项式或三角函数作为基函数进行正交展开。
• 推导出在 $L_2$-范数意义下逼近的精确与近似均方误差表达式。
• 在被积函数满足弱正则性条件时，证明了级数展开的几乎必然收敛性。
• 通过变换关系将该框架扩展至克拉伦斯型迭代积分。
• 采用均方误差准则作为数值方法收敛性的标准。

实验结果

研究问题

• RQ1 利用广义多重傅里叶级数逼近任意阶数 $k$ 的迭代伊藤随机积分时，其均方误差的精确表达式是什么？
• RQ2 如何严格建立广义多重傅里叶级数展开（如勒让德和三角级数）在迭代伊藤积分上的收敛性？
• RQ3 这些基于傅里叶的逼近方法在何种程度上提高了伊藤 SDE 高阶数值格式的效率？
• RQ4 所提出的方法如何适应处理迭代克拉伦斯随机积分？
• RQ5 在随机泰勒-伊藤展开的背景下，何种条件可确保逼近方法的几乎必然收敛性？

主要发现

• 本文推导出任意阶数 $k$ 的迭代伊藤随机积分逼近的精确与近似均方误差表达式。
• 该方法在多重傅里叶-勒让德和多重三角傅里叶级数展开下均实现了概率为1的收敛性。
• 该方法避免了冗余展开项的使用，简化了随机微分方程的数值实现。
• 该框架已扩展至包含迭代克拉伦斯随机积分的均方逼近。
• 研究结果支持了针对伊藤 SDE 和具有迹类噪声的非交换半线性 SPDE 的高阶强数值方法的构建。
• 该方法基于 $L_2$-范数收敛准则，确保了在实际应用中的鲁棒性与准确性。