[论文解读] Expansion of Iterated Ito Stochastic Integrals of Arbitrary Multiplicity Based on Generalized Multiple Fourier Series Converging in the Mean

Dmitriy F. Kuznetsov|ArXiv.org|Dec 28, 2017

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 41被引用 28

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过在空间 $L_2([t,T]^k)$ 中使用广义多重傅里叶级数，对任意阶次的迭代伊藤随机积分进行展开，仅通过一次极限过程即可实现均方收敛。该方法可推广至任意完备正交系及加权系，相较于现有的基于埃尔米特多项式的方法，展现出更优的收敛特性与计算效率。

ABSTRACT

The article is devoted to the expansions of iterated Ito stochastic integrals based on generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ The method of generalized multiple Fourier series for expansion and mean-square approximation of iterated Ito stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ ($k\in\mathbb{N}$) with respect to components of the multidimensional Wiener process is proposed and developed. The obtained expansions contain only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. In the article it is also obtained the generalization of the proposed method for an arbitrary complete orthonormal systems of functions in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}$ as well as for complete orthonormal with weight $r(t_1)\ldots r(t_k)$ systems of functions in the space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}$. The comparison of the considered method with the well-known expansions of iterated Ito stochastic integrals based on the Ito formula and Hermite polynomials is given. The convergence in the mean of degree $2n$ $(n \in \mathbb{N})$ and with probability 1 of the proposed method is proved.

研究动机与目标

• 开发一种基于广义多重傅里叶级数的通用方法，用于在均方意义下逼近任意阶次 $k$ 的迭代伊藤随机积分。
• 将该方法推广至 $L_2([t,T]^k)$ 中的任意完备正交系及加权正交系。
• 建立所提出展开方法在 $2n$ 阶均值意义下的收敛性以及几乎必然收敛性。
• 将所提方法与现有基于埃尔米特多项式的方法进行比较，突出其在计算结构与收敛行为方面的优势。

提出的方法

• 该方法利用与迭代伊藤随机积分相关的核函数在 $L_2([t,T]^k)$ 中的广义多重傅里叶级数展开。
• 通过核函数与正交基函数的内积计算展开系数，从而实现系统的逼近。
• 该方法依赖于在 $L_2$-范数下的单次极限过程，避免了其他方法中常见的多重极限过程。
• 该方法可推广至 $L_2([t,T])$ 中的任意完备正交系 $\{\phi_j(x)\}$，以及具有权函数 $r(t_1)\cdots r(t_k)$ 的加权系。
• 通过引入指示函数处理伊藤积分的因果结构，确保了随机积分顺序的正确性。
• 利用帕塞瓦尔恒等式与正交系的性质，从理论上证明了收敛性，并给出了明确的误差估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用广义多重傅里叶级数对任意阶次的迭代伊藤随机积分进行展开，以保证在均值意义下的收敛性？
• RQ2 所提出的基于傅里叶级数的展开方法在均值意义下的收敛性特征（特别是 $2n$ 阶均值收敛与几乎必然收敛）是什么？
• RQ3 与现有基于埃尔米特多项式的方法相比，该方法在计算结构与收敛行为方面有何差异？
• RQ4 该方法能否推广至 $L_2([t,T]^k)$ 中的任意完备正交系及加权正交系？
• RQ5 利用该方法对迭代伊藤随机积分进行逼近时，其均方误差估计的精确形式是什么？

主要发现

• 所提展开方法仅通过一次极限过程即可实现均方收敛，而现有方法通常需要多次极限过程。
• 对任意 $n \in \mathbb{N}$，$2n$ 阶均值收敛性得到了严格证明，提供了强有力的理论保证。
• 对于任意阶次 $k$ 的情况，该展开方法的几乎必然收敛性已得到确立，确保了样本路径的可靠性。
• 该方法可推广至 $L_2([t,T])$ 中的任意完备正交系（包括勒让德系与三角系），并给出了显式系数公式。
• 推导出了逼近均方误差的显式估计，并在基函数的一般条件下证明其有效性。
• 该方法可实现均方误差的精确计算，如定理 12、13 和 22 所示，且在推广过程中误差界得以保持。