[论文解读] Application of the Method of Approximation of Iterated Ito Stochastic Integrals Based on Generalized Multiple Fourier Series to the High-Order Strong Numerical Methods for Non-Commutative Semilinear Stochastic Partial Differential Equations

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|May 9, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 44被引用 25

一句话总结

本文提出了一种针对具有迹类噪声的非交换半线性随机偏微分方程（SPDEs）的高阶强数值方法，利用广义多重傅里叶级数——特别是勒让德多项式——来近似任意重数的伊藤随机积分。关键贡献在于一种均方近似方案，通过傅里叶-勒让德展开将无限维的Q-维纳过程降维为有限维近似，从而实现高效的高阶时间离散化，使指数Wagner–Platen型格式的收敛率达到 $1.5 - ε$。

ABSTRACT

We consider a method for the approximation of iterated stochastic integrals of arbitrary multiplicity $k$ $(k\in \mathbb{N})$ with respect to the infinite-dimensional $Q$-Wiener process using the mean-square approximation method of iterated Ito stochastic integrals with respect to the scalar standard Wiener processes based on generalized multiple Fourier series. The case of multiple Fourier-Legendre series is considered in details. The results of the article can be applied to construction of high-order strong numerical methods (with respect to the temporal discretization) for the approximation of mild solution for non-commutative semilinear stochastic partial differential equations with multiplicative trace class noise.

研究动机与目标

• 为具有乘性迹类噪声的非交换半线性SPDEs开发一种高阶强数值方法。
• 解决针对无限维Q-维纳过程的任意重数迭代伊藤随机积分近似所带来的计算挑战。
• 通过Q-维纳过程的有限维近似，将先前仅用于标量维纳过程的广义多重傅里叶级数方法扩展至无限维情形。
• 为所得数值格式建立均方收敛速率，特别是针对指数米尔斯坦和Wagner–Platen型方法。
• 通过将误差界中的阶乘项替换为平方根形式，降低计算成本，从而实现实际应用。

提出的方法

• 使用广义多重傅里叶级数，特别是多重傅里叶-勒让德级数，对无限维Q-维纳过程的任意重数迭代伊藤随机积分进行近似。
• 通过协方差算子 $Q$ 的本征函数及 $U_0$ 中的正交基 $\{e_r\}$，将无限维的Q-维纳过程降维为有限维近似。
• 将迭代随机积分表示为标量随机积分 $I_{(1)T,t}^{(r)}$ 和 $J_{(01)T,t}^{(r_1 r_2)}$ 的形式，后者通过傅里叶-勒让德展开进行近似。
• 通过截断的勒让德多项式展开定义近似 $J_{(01)T,t}^{(r_1 r_2)q}$，并确保当 $q \to \infty$ 时实现均方收敛。
• 应用巴拿赫空间中的泰勒公式和温和解的指数公式，推导SPDE的高阶数值格式。
• 利用SPDE温和解的结构以及 $F$ 和 $B$ 的弗雷chet导数，将涉及 $F'$、$B'$ 和 $B''$ 的迭代积分表示为已近似的随机积分形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何高精度地近似无限维Q-维纳过程的任意重数迭代伊藤随机积分？
• RQ2 基于广义多重傅里叶级数的该均方近似方法的收敛速率是多少？
• RQ3 该方法能否有效用于构建具有迹类噪声的非交换半线性SPDEs的高阶强数值格式？
• RQ4 与其它傅里叶级数相比，使用勒让德多项式展开在计算效率和误差控制方面有何优势？
• RQ5 在误差估计中用 $k!$ 替代 $(k!)^2$ 对实际实现和计算成本有何影响？

主要发现

• 该方法利用广义多重傅里叶级数实现了对任意重数 $k$ 的迭代伊藤随机积分的均方近似，收敛速率取决于截断参数 $q$。
• 对于迭代积分 $I_7[B(Z),F(Z)]_{T,t}^{M}$，均方误差被限制在 $2^2 C (2!)^2 ({\rm tr}\, Q)^2 E_q$ 以内，其中 $E_q$ 为勒让德级数近似的误差项。
• 对于 $I_8[B(Z),F(Z)]_{T,t}^{M}$，均方误差被限制在 $C (2!)^2 ({\rm tr}\, Q)^2 E_q$ 以内，$E_q$ 的定义与前一情形相同。
• 误差界 $E_q$ 随 $q \to \infty$ 而衰减，确保近似方案几乎必然收敛于真实积分。
• 计算实验表明，误差界中的因子 $k!$ 在实际中可被忽略，从而显著降低计算成本。
• 该方法使指数Wagner–Platen型数值格式的强收敛阶达到 $1.5 - \varepsilon$，与理论预期一致。