[论文解读] Expansion of Iterated Stratonovich Stochastic Integrals of Fifth Multiplicity Based on Generalized Multiple Fourier Series

Dmitriy F. Kuznetsov|arXiv (Cornell University)|Feb 2, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用 26

一句话总结

本文提出了一种五重乘性迭代伊藤-斯特拉托诺维奇随机积分的新展开方法，基于 $L_2([t, T]^k)$ 中的广义多重傅里叶级数，仅通过一次极限过程即实现均方收敛。该方法相较于伊藤对应方法简化了积分过程，并可通过泰勒-斯特拉托诺维奇展开实现伊藤随机微分方程的高效数值求解。

ABSTRACT

The article is devoted to the construction of expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals of fifth multiplicity based on the method of generalized multiple Fourier series converging in the sense of norm in Hilbert space $L_2([t, T]^k),$ $k\in\mathbb{N}.$ The mentioned expansion converges in the mean-square sense and contains only one operation of the limit transition in contrast to its existing analogues. The expansion of iterated Stratonovich stochastic integrals turned out much simpler than the appropriate expansion of iterated Ito stochastic integrals. We use the expansion of the latter as a tool of the proof of the expansion for iterated Stratonovich stochastic integrals. The iterated Stratonovich stochastic integrals are the part of the Taylor-Stratonovich expansion of solutions of Ito stochastic differential equations. That is why the results of the article can be applied to the numerical integrations of Ito stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的五重乘性迭代斯特拉托诺维奇随机积分展开方法。
• 通过单次极限过程确保在均方意义下的收敛性，优于现有需多次极限操作的方法。
• 利用斯特拉托诺维奇积分相较于伊藤积分更简单的结构，以构建更实用的数值格式。
• 通过改进的泰勒-斯特拉托诺维奇展开，支持伊藤随机微分方程的数值积分。
• 在希尔伯特空间 $L_2$ 中利用广义傅里叶级数，为随机分析中的高阶数值方法奠定基础。

提出的方法

• 在 $L_2([t, T]^k)$ 中利用广义多重傅里叶级数表示五重乘性迭代斯特拉托诺维奇随机积分。
• 通过希尔伯特空间 $L_2([t, T]^k)$ 中的范数收敛，建立在均方意义下的收敛性。
• 将迭代伊藤随机积分的展开作为证明斯特拉托诺维奇展开的基础工具。
• 通过正交系与级数收敛技术构建展开式，以最小化计算复杂度。
• 确保该方法仅需一次极限过程，从而提升数值稳定性和效率。
• 利用斯特拉托诺维奇积分的结构，推导出较伊藤积分更简单的展开形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用 $L_2([t, T]^k)$ 中的广义傅里叶级数对五重乘性迭代斯特拉托诺维奇随机积分进行展开？
• RQ2 所提出的展开在均方意义下的收敛行为如何？
• RQ3 所提展开中极限过程的次数与现有方法相比有何差异？
• RQ4 斯特拉托诺维奇积分的结构在何种程度上简化了其展开，相较于伊藤积分？
• RQ5 所推导的展开能否有效应用于伊藤随机微分方程的数值求解？

主要发现

• 所提出的展开在希尔伯特空间 $L_2([t, T]^k)$ 中实现均方收敛。
• 该方法仅需一次极限过程，相较于现有类似方法显著简化了计算过程。
• 迭代斯特拉托诺维奇积分的展开在结构上比相应的伊藤积分展开更简单。
• 广义多重傅里叶级数的使用使得五重乘性积分的系统化且数值可处理的表示成为可能。
• 研究结果为通过泰勒-斯特拉托诺维奇展开实现伊藤随机微分方程的高阶数值积分提供了实用工具。
• 该方法通过利用斯特拉托诺维奇微积分的优良性质，为高效数值格式的建立奠定了基础。